Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Подставив полученные выражения в (85,7), найдем
<S(r)> = 4- 5 Л,
Xce1(Q1)a2(Q2)(0iDiS(a)t, г) a>2Dift (ю2, г) X X ехр {—ш, (/, — t2) — ш2 (/3 — /4) — (*, — /4) — iQz (/2 — /3)}
(г = Г[ — г2; мы учли также четность функции Ог*(со, г) по г). Интегрирование по трем временам дает б-функции (в силу которых —Qi = Q2 = ю2 = a>i), а по четвертому — множитель t:
<¦S(r)) = -itU(r),
где
оо
и (г) = -f 5 (®) a, (e>) [Dik (со, r)]2-g-. (85,14)
— оо
Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а. Остается найти и подставить сюда явное выражение для функции А*(а>, г).
Сравнив друг с другом выражения (76,14) и (76,8), найдем,
что
ZM«D, к) = -(б,*--^)я(со, k),
400
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. IX
где D дается формулой (76,8). В со, r-представлении эта связь выразится, следовательно, равенством
Dlk (со, г) = - (бг* + D (со, г). (85,15)
Подставив сюда ?)(ю, г) из (76,16) и произведя дифференцирования, найдем
r) = [«M(l + --ртт)+
+ <85'16>
Наконец, подставив это выражение в (85,14), после простых преобразований с учетом четности функции а (со) получим следующее окончательное выражение для энергии взаимодействия атомов:
U(r) =
= \ ®4а« а2(®)+ - Wf - WF + w]rfa>-
(85,17)
Это общее выражение можно упростить в предельных случаях «малых» (а < г < 10) и «больших» (г ^0) расстояний.
При г ¦в интеграле существенны (см. ниже) значения о> — а>о, где (о0 ~ сДо — атомные частоты; поэтому tor <g; 1. В этом случае можно оставить в квадратных скобках только последний член и заменить экспоненту единицей. Написав интеграл в пределах от —оо до оо (с целью дальнейшего преобразования), найдем
00
\ «1 N а2 (со) rfa. (85,18)
— 00
Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон 1 /г6. Интеграл в этой формуле легко вычисляется, после подстановки в него а (со) из (85,13), путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости комплексной переменной со; при этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выражения в полюсах со = сопо ~ соо- Предположив для упрощения записи результата оба атома одинаковыми, получим (в обычных единицах)
2 v
§ 85] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ ЙА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 401
что совпадает с известной формулой Лондона (см. III, § 89, задача).
В предельном же случае больших расстояний, г Ко, в интеграле существенны значения ю ^ с/r < «о; при ю^хоо интеграл погашается быстро осциллирующим множителем exp(2ia>r). Поэтому можно заменить поляризуемости oci(a>) и аг(ю) их статическими значениями ai(0) и а2(0). После этого интегрирование производится элементарно (причем для обеспечения сходимости следует заменить в экспоненте r-»-r + i0). В результате окончательно находим (в обычных единицах):
U(r) = -~ hca' (0rl °2 (0)- (85,20)
(H.B.G. Casimir, D. Polder, 1948)').
') В изложенном выводе мы частично следовали И. Е. Дзялошинскому (1956).
ГЛАВА X
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
§ 86. Рассеяние фотона электроном
Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным электроном (эффект Комптона) выражается равенством
p + k = p' + k', (86,1)
где р и k — 4-импульсы электрона и фотона до столкновения, а р' и k' — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в § 66 кинематические инварианты:
s — (Р + k)2 = (р' + k')2 = m2 + 2 pk = m2 + 2 p'k',
t=*{p — p')2 = (k' -k)2 = 2 (tn2 - pp') = —2kk', (86,2)
u = (p — k')2 = (p' — k)2 = m2 — 2 pk' = tn2 — 2p'?,
s + t + и = 2m2.
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (74,14), и его амплитуда
Mfi = —4ле2е'ц ev (ti'Q^u), (86,3)
где
(YP +\k + m)\v + ~^m2 Yv (YP — \k' + m) v1*.
(86,4)
Здесь e, e' — 4-векторы поляризации начального и конечного фотонов; и, и' — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов.
Согласно изложенным в § 65 правилам, для произвольных поляризационных состояний частиц квадрат \Mft\2 заменяется на
| Mft f -> 16яУ Sp {р,е,р1?'Гр(г)да. (86,5)
Здесь р(е), р<е> — матрицы плотности начального и конечного электронов, p(-v), р(-у) — то же для фотонов; фотонные (тензорные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) подразумеваются; знак Sp относится именно к последним индексам. К этим же индексам относится знак эрмитова сопряжения в определении Q|1V = Y°Q)tvY0-
| 86) РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 403
Рассмотрим рассеяние неполяризованного фотона на непо-Ляризованном электроне, не интересуясь при этом их поляризациями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц достигается с помощью матриц плотности:
р$ : р$' = - т р(в) = т(YP + р(вГ : 1"(Yр' +
переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осуществляется умножением еще на 2-2 = 4.
По формуле (64,23) (в которой надо положить теперь /2 = = -^-(s —/и2)2 — см. (64,15а)j получим для сечения
da = ^- {s d-m2)i Sp {(ур' + m) Q** (yp + m) Q^}.
С помощью формул (65,2a) находим, что Qnx = Qxn- Отделив члены, переходящие друг в друга при замене k •*-*¦ —k' (и соответственно представим сечение в виде
