Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом* гамильтониан системы двух электронов получится из формул ^83,15—16), если просто положить в них
388
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[ГЛ. ТХ
т\ = га2 ‘):
Н — ~2^ (Р? + Рг)—8/пзс2' (р? + Рг) + U (рь р2, г),
^(Pl* Р2’ r> = Т ~ * (5-)2 6 « - 2^*Г (р А + +
/>2А ^ ^
+ 4/^2с2“з {~~ (<*1 + 2<Х2) [rpi] + (<*2 + 2<Х,) [гр2]} +
+ т(^П^-1?Ь?т-'Т".М(г)}. (83,17)
Заметим, что присутствие членов с б (г) не означает, конечно, наличия особо сильного взаимодействия. Интегральная величина всех поправочных членов одинакова, и по смыслу произведенного разложения все они должны рассматриваться как малые по сравнению с первым членом — кулоновым взаимодействием.
Различные группы членов в операторе взаимодействия
(83,17) имеют различный характер. Члены первой строки в О имеют чисто орбитальное происхождение. Во второй строке стоят члены, линейные по операторам спина частиц; они отвечают спин-орбитальному взаимодействию. Наконец, квадратичные по спиновым операторам члены третьей строки описывают спин-спиновое взаимодействие2).
Электрон и позитрон
Система из электрона и позитрона требует особого рассмотрения. Амплитуда рассеяния в этом случае складывается из двух членов:
Mf{ = е2 [й (р'_) у»и (р_)] (Р_ - P'J) \й (-Р+) \vu (~р'+)] +
+ е2 \й(-р+)у'1и(р_)] D^(p_ + р+) [й(р'_)Ги{~р'+)] (83,18)
(первый отвечает рассеивательной, а второй — аннигиляцион-ной диаграмме). Поскольку волновая функция системы «электрон -{- позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия.
*) Волновое уравнение с гамильтонианом (83,17) было впервые установлено Брейтом (О. Breit, 1929), а его последовательный квантовомеханический вывод дан JI. Д. Ландау (1932).
г) Это взаимодействие упоминалось в III, § 72 в связи с тонкой структурой атомных уровней, а спин-спиновое взаимодействие электронов с ядром рассматривалось в III, § 121 в связи со сверхтонкой структурой уровней, В частности, формула III (121,9) Соответствует б-функционному члену в операторе спин-спинового взаимодействия.
§ 83] УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 389
Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83,1)) приводит, естественно, к оператору, отличающемуся от (83,17) лишь общим знаком. Займемся преобразованием второго члена.
Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной калибровке:
р. _ 4я______________4я
?2 (02/с2 _ k2 ^^v‘
В данном случае k = р+ + Р-, и поскольку частицы «почти нерелятивистские», то
¦g. ^ (8+ +/~}~ ~ 4т2с2 > (р+ + Р-)2 ^ к2. (83,19)
Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать
п - п
** т2с2 ^v'
Здесь уже содержится множитель 1/с2. Поэтому амплитуды и(р) достаточно брать в нулевом приближении:
и (р_) = л]2т ( W~ ^ и (~р+) = л]2т ( j)0)),
где w^, а>(0) — фигурирующие в (23,12) 3-спиноры (ниже индексы (0) у них опустим). С этими амплитудами
й (-Р+) У°и (Р-) ='«* (-Р+)и (Р-) = 0.
Й (—Р+) \и (р_) = и (—р+) а и (р_) = 2 т (w*ow_).
После подстановки этих выражений «аннигиляционная» часть амплитуды рассеяния принимает вид
М{^ш) = —е2 (2т)2 (w*aw_) (оАхау'). (83,20)
Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры w, через которые выражаются амплитуды и(—р+), еще не являются в буквальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды получаются из и(—р+) преобразованием зарядового сопряжения; согласно (26,6) соответствующие им спиноры (обозначим их w+) связаны с w соотношением w+ = ayw*, откуда
w* = oyw+ =—w+Oy, w = —oyw*+. (83,21)
Во-вторых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друг с другом электронные
390 ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ (ГЛ. IX
(да_ и w'J) и позитронные (де+ и спиноры. Эта цель дости* гается с помощью формулы
+ * 3 * 1
(w'jbw') = -у (w'’w_) (w’w') —^ (w'ow'),
(83,22)
которая сама следует из (28,17).
Наконец, выразив w и w' через w+ и w'+ согласно (83,21), найдем, как легко проверить,
(w’w') — (w'*w+), (w’ow') = — (w"ow+y (83,23)
Подставив (83,23) в (83,22) и затем в (83,20), получим окончательное выражение для аннигиляционной. части амплитуды рассеяния
щ«т) _ _4m2 [-—г (3 + a+a_)J w_w^
(матрицы о- и <т+ действуют соответственно на и w+). Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий координатный оператор
0(aHH,(r) = -g5(3 + a+a_)6(r), г = г--г+ (83.24)
(Pirenne, 1947; В. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть
~0 + #(анн)
с 0 из (83,17).
§ 84. Позитроний
Полученные в предыдущем параграфе формулы можно применить к позитронию — водородоподобной системе из электрона и позитрона.
В системе центра инерции операторы импульсов электрона и позитрона в позитронии: р_ = —р+ = р, где р= —/ftV —оператор импульса относительного движения, соответствующий относительному радиус-вектору г = г_ — г+. Полный гамильтониан
ПОЗИТРОНИИ
391
позитрония *)
™а «г
fi = s^-JT + vx + v2 + vb,
^ = - 1&Г + 4щА (г) - + 1Щ,
V2 = 6^-1- Is,
(84,1)
V3 = 6ii23 -4т {-(Sf^(Sr) - i-:S2} + 4яц? (-f S2 - 2) 6 (r).
