Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
348
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. VIII
зом, получаем для матричных элементов выражения в виде средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения частиц и их линейных комбинаций. Вычисление таких средних осуществляется с помощью следующих утверждений, составляющих содержание теоремы Вика (G. С. Wick, 1950).
1. Среднее по вакууму от произведения любого числа бозонных операторов 6+, 6 равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в первоначальном произведении.
2. Для фермионных операторов ,й+, d, Ь+, Ь (одних и тех же или различных частиц) правило меняется лишь в том, что каждый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности числа перестановок фермионных операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все попарно усредняемые операторы.
Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля, лишь если наряду с каждым множителем а, В, ? в произведении имеется также по множителю й+, Ь+, с+. При этом свертывать следует только пары операторов (&, а+), ..., относящихся к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых а+, ... стоят справа от а, ...: частица сначала рождается, а затем уничтожается (средние же значения <0|а+а|0>—0, ...).
Если каждая пара (а, а+), ... входит в произведение всего по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение сводится при этом к одному произведению попарных средних). Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтожения стоят в произведении справа от операторов рождения (такое произведение называют нормальным)-, среднее значение при этом равно нулю. Отсюда легко путем полной индукции доказать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара операторов входит в произведение несколько (k) раз.
Рассмотрим среднее значение <0|. ,сс+. .|0>, в котором пара бозонных операторов входит k раз (для фермионных операторов дальнейшие рассуждения вполне аналогичны). Переставив множители б, 6+ в некоторой паре, получим на основании правил коммутации
(0 | .. сс+ .. ! 0) = (0 | .. с+с .. | 0) + (0 | .. 1 .. | 0). (77,2)
Среднее значение <0|..1..|0> содержит k—1 пару, и для него теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны, есути раскрывать среднее значение <0|. .сс+. . |0> по теореме Вика, то оно будет отличаться от среднего значения <0|..с+с. ,|0) как раз членом
<0| .. 1 .. 10)(0 \ сс+ 10> = <01 .. 1 .. |0)
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ
349
(при раскрытии <0 J. ,с+с. .|0> аналогичный член <0|..1..|0)Х X <0|с+с|0> = 0). Поэтому из (77,2) следует, что если теорема Вика справедлива для матричного элемента <0|. .с+с. . |0>, то она остается справедливой и после перестановки 6 и с+. Поскольку для одного определенного (нормального) порядка множителей теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в любом случае.
Будучи верна для произведений операторов а, о, ..., теорема Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду с самими й, Ь, ... также их линейные комбинации “ф, “ф, А. Применив эту теорему к матричному элементу (77,1), мы представим его в виде суммы членов, каждый из которых будет произведением некоторых попарных средних. Среди последних
будут встречаться свертки операторов “ф, -ф, J4 с «внешними» операторами — операторами рождения начальных или уничтожения конечных частиц. Эти свертки выражаются через волновые функции начальных и конечных частиц согласно формулам!
(01 Ас+10) = Лр, (0|срЛ|0> = Л;,
(0 I 'фДр I 0) = “фр, <0 | ?гр-ф I 0> = (77,3)
<0lVH0>=^_p, (0|^p+|0>=tLp,
где Ар, -фр — фотонные и электронные волновые функции с импульсами р (поляризационные индексы, как и в § 73, 74, для краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки «внутренних» операторов, стоящих под знаком 7-произведений. Поскольку при применении теоремы Вика последовательность множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих свертках сохранится хронологическая последовательность операторов, так что они заменяются соответствующими пропага-торами1).
Каждый из членов суммы, на которую разбивается матричный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика,
.') По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание. При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации операторов б, ?+, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных») фотонов. «Внешние» операторы отвечают, разумеется, имен-
но таким (начальным и конечным) фотонам. Операторы же А (входящие под знаком Г-произведения) описывают, как было указано в § 76, не только поперечные фотоны. Ситуация здесь такая же, как и при вычислении в § 76. В силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора {0 | ТА^Ау ... | 0)), которые определяются поперечными частями потенциалов. Тем самым она будет доказана и для любых произведений.
850
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. VIII
изображается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме п-го приближения содержится п вершин, каждой из которых ставится в соответствие одна из переменных интегрирования — один из 4-векторов xi, х2, ... В каждой вершине сходится три луча — два сплошных (электронных) и один пунктирный (фотонный), которым соответствуют электронные (ф и ф) и фотон-рый (А) операторы как функции оддой и той же переменной х. При этом оператору ф соответствует приходящая в вершину, а
