Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
амплитуды рассеяния
Mfl = е2 {(й4у»и2) (р4 — р2) («3Yv“i) —
— (щу»щ) (р4 - Ру) (й3у',и2)}. (73,11)
Здесь введена фотонная функция распространения- в импульсном представлении
D^(k)=^D^(l)etkm. (73,12)
Каждый из двух членов амплитуды (73,11) может быть символически представлен в виде так называемых диаграмм Фейнмана. Первый член представляется диаграммой
Рз'
вЦй^ = (73,13)
Каждой нз точек пересечения линий (вершине диаграммы) сопоставляется множитель у. «Входящие» сплошные линии, направленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоставляются множители и — биспинорные амплитуды соответ*
5 73] ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 331
ствующих электронных состояний. «Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин—конечные электроны; этим линиям сопоставляются множители й. При «прочтении» диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствующем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок. Обе вершины соединены пунктирной линией, отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель—iD^ik). 4-импульс виртуального фотона k определяется «сохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий; в данном случае ? = pi— Рз = Р\ — Рг- Помимо всех перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель (—ie)2 (показатель степени — число вершин в диаграмме), и в таком виде она входит слагаемым в iMft. Аналогичным образом второй член в (73,11) представляется диаграммой
Ра
es(^yflu1)I!lttV(kj(u3 yvus) =
"(надо иметь в виду, что k' = р\ — р4 = Рз— Рг). Безразлично, начинать ли прочтение диаграммы от конца р3 или р4; получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора Dp.v. Безразличен также выбор направления линии виртуального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака k, несущественному в силу четности функций Ор^(й) (см. § 76).
Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, называют внешними линиями или свободными концами диаграммы. Диаграммы (73,13) и (73,14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов (р3 и р4). Такая перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило соответствует тому, что в амплитуду (73,11) оба члена входят с разными знаками.
Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейнмана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим, однако, что эти диаграммы могут быть приведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном— координатном — представлении (интегралы (73,10)). Роль электронных амплитуд при этом играют соответствующие координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координатном представлении. Каждой вершине отвечает одна из пере-
332
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. VIII
менных интегрирования (х или х' в (73,10)); множители, приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функции этой переменной.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно р- и р+, а конечные р'_ и р'+.
Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в •ф-операторы (73,6) вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов. В то время, как в предыдущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечивалось оператором ф, а рождение обеих конечных — оператором
¦ф, здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронам и позитронам. Поэтому сопряженной функцией ij)(—р+) будет описываться теперь начальный позитрон, а конечный позитрон — функцией -ф (—р'+) (причем обе — об 4-импульса с обратным знаком). С учетом этого различия получим в результате амплитуду рассеяния *)
Мн = (Р-) (Р_)) b„v (р_ - р'_) (й (- р+) yvu (— Р+)) +
+ (« (— Р+) Y1*" (Р_)) (р_ + р+) (й (р'_) Yv« (— />+))• (73,15)
Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами:
Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касающейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим й. Но теперь входящие линии отвечают конечным, а выходящие — начальным пози-
‘) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды однозначен. Он определяется тем, что в (73,5) «внешние» операторы должны быть расположены таким образом, чтобы оба электронных оператора стояли по краям:
(01 а'Ь' ... Ь + а+ |0>
(или же оба в середине); этим условием обеспечивается «одинаковый знак» начального и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно проверить и по нерелятивистскому пределу: мы увидим далее (см. § 81), что в этом пределе второй член в (73,15) стремится к нулю, а первый — к борновской амплитуде резерфордовского рассеяния.
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
333
тронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком.
Обратим внимание на различный характер двух диаграмм
(73,16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине — то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция лары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рождение пары из фотона.
