Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Это различие отражается и в свойствах виртуальных фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма «рассеи-вательного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому k2 С 0 (ср. (73,1)). Во второй же диаграмме («аннигиляцион-ной») k' = р- + р+, и потому k'2 > 0. Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда k2^0, в отличие от реального фотона, для которого k2 = 0.
Если сталкивающиеся частицы не тождественны и не являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой:
р(е) р(е>
v* (73,17)
р(№)
Диаграмма же аннигиляционного или обменного типа в этом случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов
7 = 7« + 7<« = $ve)) +
и взяв в произведении (х)]^ {х') матричные элементы от членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц.
Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-импульса. Матричные элементы оператора
5(I) = — ie J / (*) А (х) d4x (73,18)
для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке х» трех реальных частиц: двух электронов и одного фотона. Они возникают в результате свертывания операторов ф (я) и ф (я) в одной точке х и определяются
334
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. VIII
(например, для испускания фотона) интегралами вида
Sfi — — ie J -фг (*) ^ (х) (yA* (a:)) d4x,
обращающимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя ехр[—i(pi— р2— k)x] с отличным от нуля показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю диаграммы с тремя свободными концами
По этой же причине невозможны процессы второго порядка, в которых участвовали бы (в начальном и конечном состояниях) Шесть частиц. В матричном элементе Sfi соответствующих переходов интеграл по dixd4x' распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по d4x и d4x' от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Другими словами, соответствующие диаграммы распались бы На две независимые диаграммы вида (73,19).
§ 74. Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона
Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фотона на электроне (эффект Комптона). Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы ky и ру а в конечном &2 и р2 (а также определенные поляризации, которые для краткости не указываем).
Фотонный матричный элемент
г(при этом учтена коммутативность операторов 6lt с?\ по этой же причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электронный матричный элемент
(2 i Tf (*) Г (х') ] 1> = (01 а,Т ($y4) (¦ W) я>+10>. (74,3)
(73,19)
<2|ТЛ14(дс)Л,(лс')1 О — (0 к2ТЛй (дс) Лч (я') cf 10>, (74,1)
где
А = J] (скЛ* ск Аь).
к
Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА
335
В нем фигурируют четыре ф-оператора. Только два из них будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами йt и йу Это могут быть
операторы ф', ф или ^ (но не ф, ф или ф', й'; рождение и уничтожение в одной и той же точке х или х' двух реальных электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному нулю выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе (74,3) два члена; выпишем их сначала в предположении t > t
(74,3) = а2 (¦фу*'Ф) (^V'fO at + ai (4>Y^) ('t’V'lO at' (74,4)
В первом члене свертываются операторы а$ -> й2й+$2, $'&t ->
Поскольку операторы и dfit диагональный стоят на краях
произведения, они заменяются их средним по вакууму значением, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второго члена в (74,4) надо сперва «протащить» оператор налево, а di направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов йр, й+, в силу которых
(<V 4}+=К+.
(74,5)
(йр>^}+ = ^> K+^}+=V
В результате выражение (74,4) преобразуется к виду
(О I (%y4) ('t'V'K) — (^Ч') I °>. (>t' (74>6)
(разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные множители). Аналогичным образом при t < t' получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов ц, v:
(О | — (фУЧ) + (^Ч') (4>Yv'vt,i) I 0). t < t'. (74,7)
Оба выражения можно записать в едином виде, введя хронологическое произведение ^-операторов согласно определению
+ / 4>i (*) $* (*'), t'<t, _
*Ъ(х)ук(х) = < с л (74,8)
I — ^ (х') (х), I' >t
336
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ VIII
(i, k — биспинорные индексы). Тогда первые и вторые члены в (74,6—7) можно записать единым образом:
ф2УЧ0|Тгр • ф>'| 0>YvtJ + ip2Yv(0 |Тя|>' • ф>1 0)у^[ (74,9)
(ф-гр обозначает матрицу ф(ф*)-
Обратим внимание на то, что в естественно возникшем определении (74,8) произведения операторов при / < /' и / > /' берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определения Г-произведения, которым мы пользовались для операторов Л и j. Происхождение этого различия связано с тем, что фер-
мионные операторы ф, ф антикоммутируют вне светового конуса (в отличие от коммутирующих бозонных операторов Д, а также
