Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
образом,
{Ф? (г, t), % (г', 0}+ «= Л (г - г') (75,6)
Отметим, что из этой формулы следует, в частности, упомянутое уже в § 74 утверждение об антикоммутативности операторов ф и if> вне светового конуса. При {х — jc')2<0 всегда существует такая система отсчета, в которой t = t'\ если при этом г ф г', то антикоммутатор (75,6) действительно равен нулю.
Подставив (75,6) в (75,3) (и опустив биспинорные индексы), найдем окончательно1)
(Y Р — m)G{x — х') — б(4) (* — х'). (75,7)
Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет уравнению Дирака с б-функцией в правой части. Другими словами, это есть функция Грина для уравнения Дирака.
Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией
— х — х'), а с ее компонентами Фурье
G(p) = \Gmeipld% (75,8)
(пропагатором в импульсном представлении). Взяв компоненту Фурье от обеих сторон (75,7), найдем, что G(p) удовлетворяет системе алгебраических уравнений
(YP — m)G{p)=--1. (75,9)
Решение этой системы:
о(р)=2й?- (75>10)
Четыре компоненты 4-вектора р в G(p) являются независимыми переменными (не связанными соотношением р2 = р2 — р2 = /л2). Написав знаменатель в (75,10) в виде р2 — {р2-\-т2), мы увидим, что G (р) как функция от р0 при заданном р2 имеет два полюса: при р0=±е, где е = Ур2 + т2. При интегрировании по dp0 в интеграле
G ®= ТгЬ3' S e~iplG № d*p = S d3p ‘eipr S dp° ‘ e~ip°%G (p)
(75,11)
*) В явной записи с биспинорными индексами
(\Р — т)и Glk (л — х') — 6(4) (л — х') 6ik. (75,7а)
340 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VIII
(т = t — t') возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов; без указания этого способа выражение (75,10) еще по существу неопределенно.
Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному определению (75,1). Подставим в него ф-операторы в виде сумм (73,6), заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь от следующих произведений операторов рождения и уничтожения:
(0 I арар 10) = 1, (0 I bpb+10) = 1.
(Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде чем «уничтожить» частицу оператором ар или Ьр, надо «родить» ее оператором ар или Ьр.) Получим
Gik (х — х') = — i ? (г, t) (г', /') =
Р
= -iZe-w-*'hbpt(r)%kM, t-t'> 0; (75,12)
Р
Gik(x — х') = i ? О'Ф.рг (Г- 0 =
= i ? еи«-*'^_р1 (г) у_рк (г'), t — t'< 0
(при / > t' вклад в G дают только электронные, а при /<;/' — только позитронные члены).
Представив себе суммирование по р замененным интегрированием по йгр и сравнив (75,12) с (75,11), мы увидим, что интеграл
\e-^G(p)dp0 (75,13)
должен иметь фазовый множитель е~‘гх при т > 0 и е1ех при х < 0. Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы ро = е и ро = —е соответственно сверху и снизу (в плоскости комплексного переменного ро):
—(75,14)
Действительно, при т > 0 замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости, так что значение интеграла (75,13) будет даваться вычетом в полюсе ро = +е; при т < 0 замыкаем контур в верхней полуплоскости, и интеграл определится вычетом в полюсе ро = —е. В обоих случаях получится требуемый результат.
Это правило обхода (правило Фейнмана) можно сформулировать иначе: интегрирование производится везде вдоль самой
электронный пропагатор
341
вещественной оси, но массе частицы т приписывается бесконечно малая отрицательная мнимая часть:
т->-т — ДО. (75,15)
Действительно, имеем тогда
е —> Vp2 + (т — до)2 = Vp2 + т2 — =е —
Другими словами, полюсы р0 = ±е смещаются вниз и вверх от вещественной оси:
-s+it>
‘ * о - . (75-16>
+ ?-г'0
так что интегрирование вдоль этой оси становится эквивалентным интегрированию вдоль пути (75,14)1). С учетом правила (75,15) пропагатор (75,10) можно написать в виде
(75’17)
Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрируется следующим соотношением:
(75,18)
Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую-либо функцию f(x) и интегрировании имеем
оо оо
\ l+io dx= ^ ~Г~dx ~ ijlf (75,19)
— оо —оо
где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означает главное значение.
Функция Грина (75,10) представляет собой произведение би-спинорного множителя ур -f- т и скаляра:
Gb) (p)=-jrhp- (75-20)
Соответствующая координатная функция G<0>(?) является, очевидно, решением уравнения
(р2 - т2) G<°Hx - х') = (х - х'), (75,21)
') Полезно заметить, что правило сдвига полюсов соответствует тому, что G(x— х') приобретает бесконечно малое затухание по |т|, где т = !=/ — /'. Действительно, если записать значение р0 в смещенных полюсах как —(е — «б) и +(е — (6) (где б-*+0), то временной множитель в интеграле (75,13) будет равен ехр(—?е|т| — б|т|).
342
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. VIII
т. е. функцией Грина уравнения (р2— m2)ip = 0. В этом смысле можно сказать, что G(0,(х— х') есть пропагатор скалярных частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше), что функция распространения скалярного поля выражается через гр-операторы (11,2) формулой
аналогичной определению (75,1). При этом хронологическое произведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом:
