Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 118

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 244 >> Следующая

билинейных операторов / = •фу'Ф) *)• Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения (74,8) (формальное доказательство правил коммутации гр-операторов будет дано в § 75)2).
Введем электронную функцию распространения (или электронный пропагатор)—биспинор второго ранга Gik(x — х')—согласно определению
Gtk (* -х') = - I <0 | Тфг (х) % (х') | 0). (74,10)
Тогда электронный матричный элемент запишется в виде
(2 | Tf (*)/v {х')| 1) = -f *4>2YvGYM-*t>i- (74,П)
После умножения на фотонный матричный элемент (74,1) и интегрирования по ЛйУ оба члена в (74,11) дают одинаковый результат, так что получается
Sfi = — ie2 ^ ^ сРх cPx'ty2 (х) y^G (л: — х') (*') X
X {А'ъ (X) Alv (х') + (х') Л1(1 (х)}. (74,12)
Подставив для электронных и фотонных волновых функций плоские волны (64,8—9) и выделив б-функцию, как это было
') Напомним, что сами по себе г|)-операторы не отвечают каким-либо измеримым физическим величинам и потому не обязаны быть коммутативными вне светового конуса.
2) Аналогично можно определить Г-произведение любого числа г|)-опе-раторов. Оно равно произведению всех этих операторов, расположенных справа налево в порядке возрастания времени, причем знак определяется четностью перестановки, которую нужно произвести, чтобы получить этот порядок из порядка, указанного под знаком Г-произведения. Соответственно этому определению знак Г-произведения меняется при перестановке любых двух г|)-операторов, например:
T$t (*') = — т^к W-
§ 75] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 337
сделано для (73,10), получим окончательно амплитуду рассеяния
МП = ~4яе2«2 {(Y^) G (Pi + ki) (Yei) + (Yei) G (Pi ~ ki) (Y^)} «1.
(74,13)
где elt e2— 4-векторы поляризации фотонов, G(p) — электронный пропагатор в импульсном представлении.
Два члена в этом выражении представляются следующими диаграммами Фейнмана:
\ \ \
^яеги2(уе*)в(/)(уе!)а! УтЩ
Рг Pi
(74,14)
4легйг (ye1)S(f'j(ye\)u1 = ,f=Pt -кг
"г Pi
Пунктирные свободные концы диаграмм отвечают реальным фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляется множитель д/4яе, а выходящим линиям (конечный фотон) — множитель д/4яе*, где е — 4-вектор поляризации. В первой диаграмме начальный фотон поглощается вместе с начальным электроном, а конечный испускается вместе с конечным электроном. Во второй диаграмме испускание конечного фотона происходит вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение начального фотона — с рождением конечного электрона.
Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) отвечает виртуальному электрону, 4-импульс которого определяется сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставляется множитель iG(f). В отличие от 4-импульса реальной частицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен т2. Рассматривая инвариант /2, например, в системе покоя электрона, легко найти, что
/2 = (Pi + К)2 > f = (Pl - k2f < m2. (74,15)
§ 75. Электронный пропагатор
Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппарате квантовой электродинамики. Фотонный пропагатор v становится основной величиной, характеризующей взаимодействие
338 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. VIII
двух электронов. Эта его роль наглядно проявляется в положении, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда входит умноженный на токи переходов двух частиц. Аналогичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии электрона и фотона.
Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов, начав с электронного случая.
Подействуем на функцию
(jc — jcO----<0 | ТЧ>, (jc) ф* (jcO | 0> (75,1)
г(/, k — биспинорные индексы) оператором ур— т, где р^=1д^. Поскольку оператор ф (х) удовлетворяет уравнению Дирака hP — m) ¦$(.*) = 0, мы получим нуль во всех точках х, за исключением лишь тех, в которых t = t'. Дело в том, что G(x — х') стремится к различным пределам при ?->-?' + 0 и t-*-tr — 0: согласно определению (74,8) эти пределы равны соответственно
— г<0|фг(г, 0Ф*(г', 01°) и Ч-г<0]фй(г', /)Ыг, 01 0)
и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают. Это приводит к появлению в производной dG/dt дополнительного члена с б-функцией:
= - /(01Т ^ (х')| 0} + б (t - П (G иг,+0 - G иг,_0).
(75.2)
Замечая, что в оператор уР — т производная по t входит в виде iy°d/dt, имеем поэтому
(ур — m)ik Gkl {х — х1) = &(t — t') y\k <01 (r, t), $i (r', 0}+1 0).
(75.3)
Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив операторы ф(г, 0 и “ф(г', 0 (см. (73,6)) и учтя перестановочные правила для фермионных операторов йр, 5Р, найдем
{Фг(г, 0. 0}+ = Е И>„/(г) V(r') + t-pi(r)t-pft(r')], (75,4)
Р
где ф±Р(г) — волновые функции без временного множителя (как и в § 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризационные индексы). Но совокупность всех функций ф±Р(г) — собственных функций гамильтониана электрона — составляет полную систему нормированных функций, и согласно общим свойствам таких систем (ср. III (5,12)):
? [Ър1 (Г) ^ (г0 + (Г) Г-Рк (Г')] = (г - Г'). (75,5)
Р
§ 75] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 339
Сумма же в правой стороне равенства (75,4) отличается от написанной заменой на (ij3*Y0)ft и равна Таким
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed