Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
au п
одинаковые значения; при этом граничное условие -—=0 сохраняется
ІП
вдоль всей границы квадрата. Поэтому п-е собственное значение треугольника является также собственным значением квадрата, Qt п-е собственное значение квадрата во всяком случае не больше п-го собственного значения треугольника, другими словами: число собственных значений, не превосходящих данной верхней грани, при граничном
условии ^ = O для треугольника, не, больше соответствующего числа
собственных значений для квадрата, т. е. числа, выражающегося формулой (26).
Рассмотрим, во-вторых, случай, когда область G представляет собой произвольный прямоугольный треугольник с катетами а и Ь, и пусть Ь<^а. Поместим вершину йрямого угла в начале координат и направим катет а по о:и х, катет b по оси у. Преобразуем треугольник G в равнобедренный прямоугольный треугольник G1 с катетом а с помощью
а
преобразования Z = х, T1 = у. Тогда выражение Л> [ср] переходит в выражение:
OW=Wi
с
а добавочное условие H [<р] = 1 переходит в условие:
Я'
G'
f2~ ^drl = I,
тогда как остальные добавочные условия H[IpsVi] = 0 из § 1,4, не изменяют своего вида. Мы можем поэтому, отбрасывая несущественный
Ь
постоянный множитель —, входящий в оба интеграла, определит^ п-е собственное значение для треугольника G как максимум минимумов 416
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
взятого по области G1 интеграла
їїшмт^
с
причем все остальные условия имеют обычный для области G' вид. Так
я
как по условию — ^ 1, так что:
шт+тъ-тнт^
О' с
то и максимум минимумов левой части не может быть меньше максимума минимумов правой части, откуда следует, что п-е собственное значение для равнобедренного треугольника G1 не может быть меньше й-го собственного значения для равнобедренного треугольника G', а потому и пода но не может быть меньше и-го собственного значения для квадрата со стороной а.
du
Таким образом при граничном условии —=0 число собственных
oft
значений, не превосходящих данной верхней грани, для прямоугольного треугольника с катетами а и Ь<^а не может быть больше соответствующего числа собственный значений для квадрата со стороной а и тем более не может быть больше соответствующего числа собственных значений для квадрата со стороной, большей, чем а.
Точно так же число собственных значений, не превосходящих данной верхней грани, для произвольного прямоугольника не может быть больше соответствующего числа собственных значений для квадрата со стороной, большей, чем наибольшая сторона этого прямоугольника.
На основании этих фактов и с помощью теоремы 4 мы получаем возможность найти верхний предел для числа собственных значений, не превосходящих данной грани, в случае, когда рассматриваемая область образована из конечного числа прямоугольников и прямоугольных треугольников.
Применим теперь эти результаты для того, чтобы оценить влияние, оказываемое на распределение собственных значений пограничной полосой, откидываемой при аппроксимировании области G с помощью квадратов; для этой цепи мы должны сперва точнее определить эту пограничную полосу. Мы предполагаем, что путем последовательного деления сторон мы сделали аппроксимирующие квадраты настолько мелкими, что внутри каждого из пограничных квадратов угол, на который поворачивается нормаль к границе области вдоль лежащей в этом квадрате части границы при переходе от одной точки дуги к другой,' не превосходит наперед заданного сколь угодно малого числа ij, величину которого мы выберем надлежащим образом.
Мы можем тогда составить прилежащую к границе Г полосу из конечного числа г примыкающих друг к другу элементарных областей § 4
Асимптотическое распределение собственных значений 430
Ei, E2,..., Er следующего вида (черт. 3): каждая область E либо ограничена двумя взаимно перпендикулярными прямыми AB и АС, принадлежащими данной сети ьвадратов, длина которых содержится между а и За и куском границы ВС, либо область E ограничена стороной квадрата AB, двумя перпендикулярными к AB отрезками AC и BD, длина которых содержится между а и За н частью границы CD (черт. 5). Из г таких областей мы составляем пограничную полосу, отбрасывая которую мы получаем вместо первоначальной области G область, состоящую из h квадратов Q1 и Q2,..., Qa1).
Число г, очевидно, не превос- Черт. 3.
ходит некоторой постоянной С,
не зависящей от а и исключительно зависящей от отношения длины границы Г к стороне а квадратов сети.
Чтобы получить верхнюю грань числа BeQ) собственных "значений диференциального уравнения ДмXu = O, не превосходящих грани X, для элементарной области E при граничном Su
условии — =0 мы должны найти нижнюю Ъп
грань для й-го собственного значения. Для Этой цели проведем в какой-нибудь точке дуги кривой, составляющей часть границы области Е, касательную. Эта касательная образует вместе с прямолинейными частями границы E в зависимости от того, к какому типу принадлежит область Е, либо область типа AB1C1 (черт. 4), т. е. прямоугольный треугольник, катеты которого при достаточно малой 7j будут меньше, чем 4а, либо область типа ABC1D1, т. е. трапецию, у которой стороны AC1 и BD1 меньше 4а (черт. 5). Области AB1C1 и ABC1D1 мы обозначим через ?'. Но область E можно всегда преобразовать Черт. 4.
