Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(39)
(?o-b ...+ Я«) +.. .+(??,+... + BEf) <{л+С )'
где С означает не зависящую от X и t постоянную.
Выберем теперь остающееся еще в нашем распоряжении число t так, чтобы оба члена выражения, заключенного в скобки, были приблизительно равны между собой, а именно положим t равным наибольшему
1 IogX
целому числу, содержащемуся в "2"Iog^"' т0гда мы полУчаем из неравенств (38) и (39), что при достаточно большом X
Л(Х)<|-Х + сух logx. (40)
Точно такой же вид принимает и нижняя грань выражения А (X), причем постоянная С будет отрицательной.
Эти рассуждения основываются на предположении, что входящая , в граничное условие функция о нигде не отрицательна, так как только § 5 Задачи о собственных значениях шредингеровского типа 423
при этом предположении имеет место первое из неравенств (38). Однако рассуждение, совершенно аналогичное рассуждению, приведенному нами в п. 2 и основывавшемуся на неравенстве (20) из § 2, 5, показывает, что полученные нами пределы для выражения А (X) сохраняются и в том случае, если мы отбросим это ограничительное условие. Мы получаем, таким,-образом, следующий общий уточненный асимптотический закон: TEOFEMA 20. При всех рассмотренных граничных условиях порядок роста разности
при неограниченном возрастании X не превосходит порядка роста выражения
VT IogX.
Аналогичные рассуждения, проведенные для пространства, приводят к следующей теореме:
ТЕОРЕМА 21. При всех рассмотренных граничных условиях порядок роста разности
Л (I)
для пространственной области G с объемом V при неограниченном возрастаний X не превосходит порядка роста выражения'.
XlogX.
§ 5. Задачи о собственных значениях шредингеровского типа.
В главе V, § 12 мы рассмотрели задачу Шредингера, в которой речь идет о нахождении собственных значений для бесконечной области, и исследовали особенности спектра этой задачи. Мы теперь покажем здесь в общих чертах, как можно подойти к этой задаче с точки зрения вариационного исчисления; правда, результаты, которые получаются при этом, еще очень далеки от более или менее удовлетворительного решения задач этого рода во всей их полноте. Однако не только для задачи Шредингера, но и для задач более общего типа, приводящих к разысканию собственных значений для бесконечной области и которые уже не решаются с помощью представления решения в виде произведения вида ф(л)4>(0, ш), мы получим тог важный результат, что спектры этих задач содержат бесконечное, счетное множество отрицательных собственных значений.
Пусть диференциальное уравнение, определяющее собственные значения, имеет вид:
Дмl/u-f-XM = 0, (41)
причем на и (х, у, z) налагается требование конечности в бесконечно удаленных точках пространства. 424
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Мы предполагаем, что коэфициент V (х, у, ?), выражающий потенциальную. энергию, взятую со знаком минус, остается положительным во всем пространстве и обращается в нуль в бесконечно удаленных точках, причем V удовлетворяет при достаточно большом г неравенствам:
(42)
где А и В — положительные постоянные, а показатели а и ? удовлетворяют условию 0 <[ ?^a <[2. Функция. V может обратиться в бесконечность в начале координат1), причем порядок роста V в окрестности
с
начала координат не должен превосходить грани —, где
При этом г означает расстояние точки х, у, z от начала.
Обозначим через ^ • • • dg интегрирование по всему пространству
X, у, z. Тогда вариационная задача, определяющая собственное значение \п и собственную функцию ип, сводится к нахождению максимума минимумов выражения:
J [?] ¦= J (<Р* + fy + V2s - Щ2) dg (43)
ловиях
при добавочных условиях
I
yv4dg=0 (v=l ,...,и — 1).
(44)
При этом функция <р (х, у, z) должна быть непрерывной и иметь непрерывные первые производные, и, кроме того, должны существовать
оба интеграла \<f2dg и Vy2dg; V1, V2,..., vn_2 снова означают некоторые кусочно-непрерывные функции.
Докажем сначала, что наша вариационная задача имеет смысл, т. е. что интеграл У[(р] остается ограниченным снизу. Дл^ этого воспользуемся тем, что функция V в силу сделанных предположений всюду удовлетворяет соотношению:
причем, выбрав положительную постоянную b достаточно большой, мы можем придать положительной постоянной а сколь угодно малое значение. Поэтому
j Vf2 dg^a J ~ <р2 dg+b j <f2 dg. (45)
v») Все наши дальнейшие рассуждения легко распространяются и на тот случай, когда V имеет конечное число особых точек такого же рода, как начало координат в рассматриваемом случае. § 5
Задачи о собственных значениях шредингеровского типа
425
Воспользуемся теперь неравенством:
(46)
которое получается следующим образом: положим ф = <р|/ г, тогда и, следовательно,
J Of! + <f*+ <Pp dS^(Wir+Y ^ Ф2 dg.
Первый член справа может быть проинтегрирован в явном виде, и мы получим, что в силу условия конечности интеграла \ чР dg1) этот член
Ifl
должен равняться нулю; второй член справа равняется — I у2 dg, и
неравенство (46), таким образом, доказано.
