Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
о П
квадраты, составляющие область G, через Q1, Q2,..., Qh, соответствующие им числа собственных значений, не превосходящих X, при граничном условии и== 0 обозначим через A1q^ (X), Ar^ (X),..., A'q (X), а при граничном условии ^=O через ZJfQi(X)1ZJfQ2(X),..., B1 q (к).
Согласно теоремам 2, 4 и 5 имеем:
'A1Q(I) + /Iq2(X) + ... + ^ (X) < Л'(Х) < B^ (X) + B'Q(1) +...
... + B^(X). (30)
0 Невозможно дать более точную о0щую оценку погрешности, допускаемой при замене числа A Q) его асимптотическим значением, так как установленная нами верхняя грань порядка этой погрешности действительно достигается для случая квадрата или соответственно куба. § 4 Асимптотическое распределение собственных значений 413
Но из теоремы 7, принимая во внимание соотношение (23), следует, что
Pm л-
Aq.(1) ^ ^AqXI)+ ScVl,
"т
где р<$ и рМ означают максимальные значения, рти Pm—минимальные значения функций р и р в квадрате Q1, a Aq (X) и Bq (X) означают,
как и в предыдущем номере, числа тех собственных значений диференциального уравнения Дм -|-Х« = О, которые не превосходят верхней грани X, причем для этих чисел Aqi(V) и Bqi(L) имеют 'место асимптотические формулы (26). В самом деле, еслн заменить в диференциальном уравнении (1) функции- р и р через рМ и р^, то каждое собственное значение согласно теореме 7 либо увеличится, либо останется без изменения, и поэтому число собственных значений, не превосходящих верхней границы X, либо уменьшится либо останется без изменения. С другой стороны, диференциальное уравнение (1) принимает при этом вид:
Дм + X^ и = О, Pm
а собственные значения этого диференциального уравнения равны собственным значениям диференциального уравнения Дм 4- Iu = 0, умноженій
ным на J). Аналогичное происходит, если заменить р через р'Ц, а р
Pm через P«.
Далее, из непрерывности функций р и р следует, что
' О Л Р® h
*-dxdv=a? У Л- Ь = аг V lu-fV,
Я
где числа |8| и |3'| становятся сколь угодно малыми, если квадраты Qi достаточно мелки, т. е. если длина сторон а досіаточно мала. Отсюда мы получаем, применяя соотношение (30), точно так же, как и в п. 2:
Л (X) = ^n Jj^dxdyJrW + DcVT,
о
где |8"| может быть сделано сколь угодно малым.
') Отсюда следует, что Aq1 (X) Aq1 I ). J , но из асимптотической формулы (26) следует, что
/Р(0 \ Р(,) 4 i'm ' pm
(Прим. tie рев.). 414
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Но это соотношение эквивалентно следующей теореме относительно асимптотического распределения собственных значений:
ТЕОРЕМА 14. Число А(\) собственных значений диференциального уравнения L [и] -f- Xpи — 0, не превосходящих верхней границы X, для области О, состоящей из конечного числа квадратов, при любом из рассмотренных граничных условий асимптотически равняется
* ГГр
выражению: — J J — dx dy, т. е.
П Q P
>•-* OO Q г
Первоначальное предположение аЗ5 0 является и в этом случае излишним, в чем легко убедиться таким же путем, как и в п. 2.
Те . же рассуждения приводят для пространства к следующему результату:
ТЕОРЕМА 15. Число собственных значений диференциального уравнения L\u\ -j- Xpa = 0, не превосходящих границы X, для области G, врстоящей из конечного числа кубов, при любом из рассмотренных граничных условий асимптотически равняется выражению:
о
т. е. имеет место соотношение:
В заключение заметим, что все рассуждения .последних двух пунктов можно точно таким же образом провести и для обдасти несколько более общего вида, а именно для области, состоящей из конечного числа любых прямоугольников или прямоугольных параллелепипедов.
4. Законы асимптотического распределения собственных значений для произвольной области. Для того чтобы распространить изложенные в предыдущих пунктах законы асимптотического распределения собственных значений на произвольные области, мы должны аппроксимировать эти области с помощью квадратов или кубов, лежащих внутри рассматриваемой области. При этом новых рассмотрений потребует только оценка влияния отбрасываемой при аппроксимировании пограничной полосы.
Предположим сначала, что G представляет собой плоскую область, граница которой имеет непрерывно изменяющуюся кривизну, и рассмотрим исключительно диференциальное уравнение Дм + Xm = 0.
Предпошлем сначала—несколько замечаний, относящихся к числу собственных значений этого диференциального уравнения, не превос- § 4
Асимптотическое распределение собственных значений
415
ходящих заданной верхней грани, для некоторых простых областей при ди
граничном условии — = 0.
ди
Пусть, во-первых, О представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а. Всякая собственная функция этого треугольника является в то же самое время собственной функцией для квадрата, получающегося из треугольника G путем зеркального отраже-
ди
ния относительно гипотенузы, при том же граничном условии — = 0.
oft
Ибо непосредственно очевидно, что собственную функцию данного треугольника можно продолжить на отраженный треугольник, приписывая функции в точках, симметрично лежащих относительно гипотенузы,
