Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
kIi
J0 (ат) = 0. Поэтому у — , где под k01 мы подразумеваем в соответствии с обозначениями гл. V, § 5, 5 первый нуль бесселевой функции нулевого порядка.
') Мы здесь принимаем без доказательства, что узловые линии или поверхности наших диференциальных уравнений представляют собой кусочно-г адкие кривые или поверхности, разбивающие основную область на конечное число частичных областей, имеющих кусочно-гладкую границу. 430
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Мы получаем отсюда ,2
ftO,!
Хя
а
г.
Это соотношение характеризует плотность сети узловых линий в той степени, в какой это представляется вообще возможным в общем случае. Если примем во внимание асимптотическое соотно-
п
шение Xn сл 4тс у из § 4, то мы получим, что при достаточно большом
Щ. j
п всякий круг, площадь которого больше, чем —- , содержит внутри
4 п
себя узловые точки п-й собственной функции. Если вместо круга мы возьмем квадрат со стороной а, то мы получаем аналогичным образом:
Tt2
a2 2 .
п
Предоставляем читателю вывести аналогичные неравенства для других задач с одйой или многими независимыми переменными.
Мы можем, далее, доказать следующую общую теорему относительно узлов собственных функций: если расположить собственные функции самосопряженного диференциального уравнения второго порядка
L [и] -J- Хри = 0 (р>0)
для некоторой области G при любых однородных граничных условиях в порядке возрастания соответствующих собственных значений, то узловые линии п-й собственной функции ип делят область G не более чем на п частичных областей, каково бы ни было число независимых переменных г).
Для простоты будем при доказательстве считать область G двумерной областью плоскости х, у и предположим, что граничное условие имеет вид и==0. Пусть Xn является п-м собственным значением, т. е. максимумом минимумов соответствующего интеграла D[<р] при добавочных условиях:
\\ p^dxdy = 1, (48)
G
И
WVdxdy = O (/=1,2, ..., п— 1). (49)
Предположим теперь, что узловые линии собственной функции ип разбивают область G больше чем на п частичных областей. Обозначим эти частичные области через Gu G2,..., Gn, Gn+1,... и определим п функций W1, w2,..., wn, полагая функцию W1 равной нулю вне частичной области G1 и равной собственной функции ип, умноженной на некоторый
4) См. Courant R., Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrucke, „Nachr. Ges. Guttingen (math.-phys. Kl )", 1923, Sitzung vom 13 Juni.' §Ь Узлы собственных функций
431
нормирующий множитель, внутри G1, причем этот нормирующий множитель мы выберем так, чтобы
Jj1 р W11 dxdy— і. о
Если мы составим линейную комбинацию ср = c\w\ + • ¦ • + cn®w удовлетворяющую условию:
jj р ^dfcrfy ==^ + ^+... + ^==1, о
и если примем во внимание, что каждая из функций W1 удовлетворяет уравнению
L [wj+ XrfWi = О,
то мы убедимся путем интегрирования по частям, что для функции ср имеет место равенство:
Dl9J = Xtl.
Так как мы можем, далее, для произвольно заданных функций V1 всегда определить коэфициенты Ci так, чтобы функция ср удовлетворяла, кроме условия (48), также и условиям (49), то отсюда следует, что п-е собственное значение Vn нашего диференциального уравнения для области G1 = G1 G2 +... + Qn при граничном условии и = 0 не может быть, больше, чем Xn, поэтому Vn =Xn, ибо согласно теореме 3 из § 2, 1 собственное значение Vn не может быть также и меньше, чем Xn. Но отсюда следует согласно той же теореме 3, что для всякой промежуточной между G' и G области G", содержащей Gf и содержащейся в G, п-е собственное значение также равно Xn. Составим теперь последовательность таких областей Gf, G", G"f,..., G(m), из которых каждая содержит предыдущую, и образуем соответствующие им собственные функции U1nt «?, пРичем мы продолжаем эти функции на всю область G, полагая и^=0 вне G('K Эти т функций линейно между собой независимы 1J и удовлетворяют диференциальному уравнению:
Мы можем тогда определить т не обращающихся одновременно в нуль постоянных Yj, Y2,..., Ym так, чтобы линейная комбинация
V = Yi"^+---+YzX"0
') Что эти функции линейно независимы между собой, следует непосредственно из того, что функция tffl не может тождественно обратиться в нуль в какой-нибудь частичной области, лежащей внутри области GM. Это утверждение, вытекающее для случая обыкновенных дифереициальных уравнений из теоремы о единственности, для уравнений с частными ¦ производными, является следствием эллиптического характера диференциального уравнения. Мы вернемся к этому позже, во втором томе. 482
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
удовлетворяла т — 1 условиям:
\\ptpvtdxdy = 0 (і= 1,2,3,..., т—1),
6
и так как в силу линейной независимости функций ... , и1™) функция ср не обращается тождественно в нуль, то мы можем коэфициенты Yi так нормировать, чтобы функция <р удовлетворяла также условию (48). Поэтому в силу максимально-минимального свойства т-го собственного значения
