Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
4) Предоставляем читателю самому провести это построение. Ограничимся следующим указанием. Мы сначала разбиваем границу на конечное число дуг троякого рода. Влоль дуг первого рода пусть касательная образует с осью л: .угол, не превосходящий 30°; вдоль дуг второго рода пусть угол касательной с осью у не превосходи! 30°, а вдоль дуг третьего рода пусть оба угла, образуемые касательной с осями координат, не будут меньше 20°. Пусть, далее, концы дуг первого рода имеют рациональные абсциссы, а концы дуг второго рода — рациональные ординаты. Тогда, чтобы провести описанное в тексте построение, нужно только построить достаточно мелкую сеть квадратов, стороны которой проходят через концы этих дуг.
27 Курант-Гиаьберт.418
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
в область E1 с помощью преобразования вида (21), рассмотренного нами в § 2. Если, например, для областей первого гипа мы примем А за полюс системы полярных координат с координатами р и.О и если линия ВС в этих полярных координатах выражается уравнением р=/(Э), а прямая В'О —
уравнением p = g4o), то, полагая o' = o, р' = р JJ^jy, мы получим преобразование криволинейного треугольника ? в прямолинейный треугольник ?'. Для областей второго типа AHCD предположим, что AB является отрезком оси X и зададим прямую C1D' уравнением =?¦(-*), а кривую CD уравнением y=f(x). Тогда мы получим искомое преобразование, полагая
У =
Черт. 5.
Если длина а стороны квадратов нашей сети достаточно мала, то угол, на который поворачивается касательная при перемещении вдоль дуги CB или CD, будет сколь угодно мал, и наши преобразования имеют в точности вид (21), причем величина, которую мы там обозначили через е, может быть сделана сколь угодно малой. Но согласно добавлению к теореме 10 п-е собственные значения для областей E и ?' отличаются тогда между собой лишь множителем, который для всех значений я равномерно стремится к единице, когда є стремится к нулю. Следовательно, это же имеет место и для соответствующих выражений Be(X) и B^ (к), т. е. чисел собственных значений,
дине превосходящих X, при граничном УСЛОЕИН — = 0.
дИ
Ho область ?' либо представлйет собой прямоугольный треугольник со сторонами, меньшими 4а, либо состоит из такого треугольника и из прямоугольника со сторонами, меньшими За. Поэтому если а достаточно мало, то Be (X) удовлетворяет неравенству:
Be (X) < Cj az X -f C2 aj/x,
(33)
где C1, C2 означают некоторые надлежащим образом выбранные постоянные.
После этих подготовительных рассмотрений мы можем теперь вывести законы асимптотического распределения собственных значений для области G. Обозначим снова через A (X) число собственных значений диференциального уравнения Да-[-Xa = O для области G, не превосхо-
1 да і о
дящих X, при граничном условии г—\-ои = 0, предполагая сначала, что
дп
а 3=0. Пусть область G разбита с помощью сети квадратов со стороной а на А квадратов Q1, Q2,..., Qft и г пограничных областей E1, E2,..., Er. Числа собственных значений, не превосходящих X, для квад
рата Qi при граненых условиях а = 0 и ^ = O обозначим через A1 (X)
аП§ 4 Асимптотическое распределение собственных значений 419
и соответственно через B1 (X). Соответствующие числа для областей E1 мы обозначим через АЕ{ (X) и Be.. (к) [причем нам понадобятся только числа ВЕ/ (I)].
Согласно формулам (26) имеем:
At (X)= ~ X + a Q1C1VT; B1 (X) = ~ I + аO2 C2 /Х~ а согласно (33):
??/(X) = o3(c3Xa2 + ac4]/x),
где через oj, S2,... мы обозначаем, кай раньше, числа, содержащиеся между —1 и —|— 1, а через C1, C2,... обозначаем постоянные, не зависящие от а, і и X.
Тогда имеем на основании теорем 5, 2 и 4:
W+As (Х)+...-Ь4А (Х)^Л (I)^B1 (X)-f ...+Bh (X)+??i 0)+...+BEf (X).
Далее,
^ W +...+Ал (к) = ^ к+Q1C1HaVk = X + ^f];
B1 (X) +...+ Bh (X) + BEi (X) +...+BEr (X) =
Aa2 _
= ^l + o2c2Aa J/X + Q3ra2 к C3+ %rac4VX =
= * [(^2 + ^з™2 ) + (hab,c2 + гаЬас,) -I=J.
Но аг<^с5, так что член а2г при неограниченном убывании а становится сколь угодно малым; так как, с другой стороны, для любого сколь угодно малого числа S при достаточно малом а имеет место, неравенство:
|fta>_/|<«,
то мы получаем отсюда:
,. 4тг A (X) ,
Iim —-±-1 = 1,
Woo ч
ибо мы можем свободно распоряжаться величиной а и выбрать такое постоянное сколь угодно малое значение а, чтобы множители при X в написанных выше неравенствах были при достаточно больших значениях X сколь угодно близки к числу //4тг.
Мы можем, наконец, отбросить ограничение a 0, ибо, повторяя рассуждение, проведенное в аналогичном месте в п. 2, мы убедимся, что в этом случае сохраняется тот же закон асимптотического распределения собственных значений. — Резюмируя наши результаты, мы получаем, таким образом, следующую теорему:
ТЕОРЕМА 16. Для всех рассмотренных граничных условий число A (X) собственных значений диференциального уравнения Ди-}-Хи = 0, 27*420
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
не превосходящих верхней грани X, для области О асимптотически