Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о полноте системы собственных функций
405
OO
сходящийся ряд E сп Un по собственным функциям данной задачи.
л=1 _
" іедствие полноты системы ортогональных функций |/ р ип оста-
OO It
точно показать, что ряд E спип< где сп=:\ P/ип^х> равномерно схо-
л=1 о
дится (см. гл. II, стр. 47). Для доказательства рассмотрим снова
функцию р„=/—^csK,. Как мы видели выше, на стр. 403,
V = I
и
®[pj = 2) [/I-Zc^v
V=I
При достаточно большом п, например при n^N, собственное зна-
OO
чение Х„+15г0 и S [ р„ ] S3 0; поэтому ряд E сходится, ибо его
V = I
члены при v>/V положительны. Из неравенства Шварца следует, далее, что:
k h A Г/2 lr\ 00 00 7,2 / y\
(? CnUn(X))^S E Z
n=h n=h n=h n n=h n=h n
Но мы знаем из гл. V, § 11, 3, что |и^(лс)|<[С, где С означает постоянную, не зависящую от п. Так как согласно § 2, 2 и 3,
К
отношение содержится между конечными пределами и так как п1
V 1 V uW
ряд 2^—- сходится, то отсюда следует, что сумма Jrj —— при возії=! п2 л=А \
растании Huk равномерно стремится к нулю при всех значениях х.
k
Таким образом и сумма E | Cn ип (х) | также равномерно стреті=/!
мится к нулю при неограниченном возрастании h и k; но это означает, что рассматриваемый нами ряд сходится абсолютно и равномерно, что и доказывает теорему о разложении.
Наши рассуждения и результаты остаются справедливыми и в случае диференциальных уравнений, имеющих особые точки, как, например, для собственных функций Лежандра и Бесселя. Однако в этом случае наше доказательство остается в силе только при том условии, если мы исключим из рассматриваемой области некоторую, сколь угодно малую окрестность особых точек, ибо для такой окрестности мы не доказали ограниченности нормированных собственных функций.
3. Обобщение теоремы о р аз ложе н и«. Полученные нами в гл. V, § 11, 5, асимптотические выражения для собственных функций Штурм-Лиувилля дают нам возможность существенно обобщить доказанную теорему о разложении й доказать следующую теорему: 406
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Всякая кусочно-непрерывная в основной области функция, имеющая квадратично интегрируемую первую производную Л), может быть разложена в ряд по собственным функциям, который сходится абсолютно и равномерно во всех замкнутых частичных областях основной области, не содержащих точек разрыва Функции, а в точках разрыва сумма данного ряда равняется, как и в случае ряда Фурье, среднему арифметическому правого и левого предельных значений функции (заметим, что эта теорема не предполагает, что разлагаемая функция удовлетворяет граничным условиям).
Предположим сначала, как и в § 2, 3, что диференциальное уравнение приведено к виду:
z"~ rz-\-\z=0, (18
где функция z = z(t) определена в интервале 0sg/sg/. Рассмотрим ряд:
Z Jt) Z'(T)
G(t, г)= X L ' ,
п= 1 hn
где Zn означает и-ю собственную функцию рассматриваемого диференциального уравнения при граничном условии 2 = 0.
Применяя асимптотические формулы (70) и (71) гл. V, а также формулу (19), мы получаем:
тт , тг оо sm п — rcos п —- т оо
0^ т>-гЕ — +2Х«.т),
л=1 «=!
где t) = o|^|J, так что ряд G(t, t) отличается на абсолютно
и равномерно сходящийся ряд от ряда
TT TT
0 00 Sin п — t COS п — T
^(/,Tj = IrE '
п = 1
OO
sin п - - (t -j- т) -f- sin tl-j-(t
-)
п = \
Относительно этого ряда мы уже установили в гл. II, §5, Xv что при постоянном т он сходится равномерно и абсолютно относительно t во всяком замкнутом интервале, удовлетворяющем условиям !/-(-т|]>?, 11 — т I є, где є > 0. Так как t > О и т 0, то эти условия означают,
і) Под квадратичной интеїрируемостью производной мы подразумеваем условие конечности интеграла от квадрата производной, взятого по какому-нибудь из конечного числа интервалов основной области, внутри которых функция остается непрерывной, § 4
Асимптотическое распределение собственных значений
407
чго этот интервал не может содержать точки Поэтому при /фт
наш ряд представляет собой непрерывную функцию; при і = г сумма ряда получает разрыв непрерывности, делая конечный скачок, и сумма ряда при t = i равняется согласно гл. II, § 5, среднему арифметическому правого и левого предельных значений этой функции.
Если для произвольной функции, удовлетворяющей перечисленным выше условиям, мы, устраним имеющиеся разрывы и, если нужно, достигнем выполнения граничных условий путем прибавления суммы вида:
Tz)
і
с подходящим образом подобранными коэфициентами at, то мы получим функцию, удовлетворяющую условиям доказанной уже в п. 2 теоремы о разложении, так что эта функция может быть разложена,, в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи. Но присоединенная сумма может быть, согласно полученному только что результату, также разложена в ряд по собственным функциям, и этот ряд обладает свойствами, перечисленными в формулированной выше теореме. Эта теорема, таким образом, доказана для случая разложения по собственным функциям диференциального уравнения (18). Но если мы снова преобразуем переменные z и t в переменные у или приведем таким путем диференциальное уравнение обратно к виду общего диференциального уравнения типа Штурма-Лиувилля, то мы непосредственно получим теорему о разложении и по собственным функциям уп (к) первоначального диференциального уравнения, так как эти собственные функции получаются из собственных функций Zn путем умножения на функции, нигде не обращающиеся в нуль и отличающиеся между собой только постоянными множителями.
