Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
На основании этого неравенства получаем из соотношения (45), что
J [if] > (1 - 4a) j(<p2 + «р» + «?) dg-b,
и так как мы можем выбрать а так, чтобы то J [<f] ^ — b,
откуда следует, что выражение У[<р] и собственные значения уравнения (41) ограничены снизу.
Чтобы найти теперь верхнюю грань собственных значений, усилим условия допустимости в нашей вариационной задаче, вводя добавочное требование, чтобы функция <р обращалась в нуль вне шара Kr, описанного из начала координат радиусом R. Согласно нашим сбщим принципам п-е собственное значение Vn (R) получающейся таким путем задачи для шара радиуса R удовлетворяет условию v„ (R) ^ ).„; с другой стороны, собственное значение Vn(R) легко оценить, сравнив его с собственным значением Vn(R) диференциального уравнения Ди -f-4-|ш = 0 для шара Kr при граничном условии u = O. В самом деле, так как в силу условия (42) функция V удовлетворяет внутри Kr усло-
вию V ^= — (при достаточно большом R), то
I Wx + - V?2) dS^ I (<fl + <f2+ ft) ds - ^ j"
Kr Kr Kr
1J В самом деЛе, нз этого условия следует, что должна существовать последовательность значений R1, R2.....Rn таких, что интегралы ^ f2 dS, взятые по
поверхности шаров радиуса Rm стремятся к нулю при неограниченном возрастании Rn. Мы должны сначала взять-рассматриваемый интеграл по шару радиуса Rn н перейти затем к пределу при я -> со. 426
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Отсюда непосредственно следует, что
но р (R) = -^rр (1), где р„(1) означает я-е собственное значение для H
шара радиуса 1. Мы получаем, таким образом:
1 <М1> А.
Так как а <С2, то при всяком заданном я можно выбрать R настолько большим, чтобы правая часть была отрицательной. Этим доказано, что наши вариационные задачи дают нам монотонную последовательность неубывающих отрицательных собственных значений.
Чтобы доказать, что эти собственные значения при возрастании я стремятся к нулю, мы оценим их величину, предполагая известными
собственные значения Zn специальной задачи Шредингера для случая ?
V = — , для которых соотношение Xfl —> 0 нами уже было доказано в
гл. V, § 12, 4. Для этого заметим, что имеет место неравенство:
а і b , , ---И>
т г
причем, выбрав достаточно большое значение Ь, мы. можем сделать положительные постоянные а и k сколь угодно малыми. Тогда на основании наших принципов и применяя неравенство (46) мы получим:
In ^ (1- 4а) %n-k,
где Tn означает собственное значение специальной задачи Шредин-
b
гера для случая V = ——• Отсюда следует,- что при достаточно большом я собственное значение In превосходит число —2k и стремится поэтому к нулю, так как ч^сло k может быть сделано сколь угодно малым.
То обстоятельство, что для рассматриваемой вариационной задачи существует, кроме того, непрерывный спектр положительных собственных значений, можно объяснить так:-будем рассматривать задачу нахождения собственных значений для бесконечной области как предельный случай задачи для конечной области, например для шара Kfi с бесконечно возрастающим радиусом R. Хотя я-е собственное значение Vn (R) при возрастании R монотонно убывает и стремится, как это можно доказать, к пределу ).п, где ).п означает я-е собственное значение' для всего пространства X, у, Z1 однако всяк е положительное число является точкой накопления бесконечного множества собственных значений Vn(R)', ибо для к шечных областей существуют бесконечно большие положительные собственные значения, и мы можем всегда выбрать такой закон одновременного возрастания чисел я и R, чтобы tVn(R) стремилось при этом к любому наперед заданному положительному числу.. § 5
Задачи о собственных значениях шредингеровского типа
427
Теорему о том, что для задач с бесконечной основной областью G собственные значения стремятся к нулю, мы можем доказать и другим путем,' не предполагая известными собственные значения частной задачи этого типа; это доказательство аналогично приведенному выше второму доказательству неограниченного возрастания собственных значений для конечной области.
Мы исходим при доказательстве из того, что если бы все собственные значения не превосходили некоторой постоянной верхней отрицательной грани, то мы могли бы, как мы сейчас это докажем, построить последовательность функііий (flj, <fs,..., <рл,.. „, для которой, »во-первых, интегралы ?>[<р] = ^(<р?-Ь<р?+ и #[<f>] = ^<f2dg остаются ниже некоторой постоянной верхней грани, а во-вторых, интеграл /7Jca] = ^ Vcp2 dg превосходит постоянное положительное число, причем выполняются условия ортогональности:
fPj = O.
Вследствие ограниченности интегралов D fe] и H [ср] мы можем на основании леммы, доказательство которой мы приводим ниже, выделить из последовательности функций <pv подпоследовательность сря такую; что F [срл— <fm]—>0. Но так как Ffen, <рт] = 0, то отсюда следовало
n,m-+CQ
бы соотношение FfeJFfem]—* 0, что противоречит второму свойству нашей последовательности. — Последовательность функций <pv может быть построена следующим образом: рассмотрим первую из вариационных задач, определяющую первое собственное значение X1. Для любого числа б>0 мы можем найти такую функцию Cp1, для которой
