Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если в предыдущих рассуждениях рассматривать є как некоторое -произвольное конечное число и не делать предельного перехода є—»0, то мы получим следующий более общий результат.
Если две области GuG' переходят одна в другую с помощью точечного преобразования указанного выше вида, для которого абсо-
26 Курант-Гвльберт. 402
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
лютное значение функционального определителя заключается между конечными положительными границами, то, обозначая через In и Vn п-е собственные значения для областей G и G', мы получаем, что отношение у" для достаточно большого п содержится между двумя поті
ложитсльными границами, не зависящими от п.
§ 3. теорема о полноте системы собственных функций и теорема о разложении.
1. Полнота системы собственных функций. Для рассмотренных в § 1 и 2 вариационных задач, касающихся выражений
?>Гф1
вида ~ , мы получили для собственных значений соотношение:
ФМ
IimXn= оо.
л—> оо
При этом существенным было то обстоятельство, что выражение ф [<р] имеет определенный положительный характер и обращается в нуль только при <р = 0. Опираясь на этот факт бесконечного возрастания собственных значений, докажем теперь теорему о полноте в следующей форме:
?) [ф1
Система собственных функций для выражения является
полной системой функций, а именно в том смысле, что для всякой непрерывной функции f и любого сколь угодно малого положительного числа є существует такая линейная комбинация конечного числа собственных функций
для которой
$[/—»„]< е.
Наилучшее приближение, т. е. наименьшее значение S^ [/—о>и], достигается, когда коэфициенты Ui равняются коэфициентам Фурье:
aI = cI=QU, U1]. Для этих коэфициеитов выполняется условие полноты:
оо
& [л-Е cI- (23>
/=1
Заметим сначала следующее: то, что наилучшее среднее приближение функции / посредством линейной комбинации первых п собственных функций, оцениваемое с помощью интеграла ,?), т. е. наименьшее значение выражения [/—Wn] достигается при Cii = C1 = SqI \ Ui], доказывается точно таким же образом, как и для любой системы ортогональных функций, на основании соотношений (8) из § 1. Далее, из соотношения:
п п
о < & [/- Xс/ «J=? [/]
*¦=! і=і §3
Теорема о полноте системы собственных функций
403
OO
непосредственно следует СХОДИМОСТЬ бесконечного ряда S с? и неравен-
1=1
ство Бесселя:
OO
1=1
Чтобы доказать справедливость не только этого неравенства, но и условия полноты (23), предположим сначала, что функция / удовлетворяет условиям допустимости, введенным при соответствующих вариационных задачах. Тогда функция
п
P «=/—Sc-^ /= і
удовлетворяет обобщенным условиям ортогональности, определяемой с помощью формы
4?[ри. и*] = O (/=1,2,...,11),
а поэтому согласно § 1 (7) выполняются также и условия ортогональности, определяемой с помощью формы JD:
?[р„. "J=O (/=1,2,...,«). (24)
Из условий ортогональности первого рода следует в силу минимального свойства собственного значения Хя+1, что
*»+i№„]<®[pJ. (25)
С другой стороны, JD [ рп ] остается ограниченным, ибо ®1Л=®[|^а]+2®[Е cA' р„]+©[р«ь
1=1 I=I
а потому в силу соотношений (24)
®[/]=3[I>f] + ®[pJ-
I=I
Но
I=X I=I
откуда следует, что это выражение при неограниченном возрастании п остается больше некоторой постоянной нижней грани, ибо число отрицательных собственных значений конечно. Поэтому выражение JD [рп] остается ограниченным сверху.
26* 404
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Из соотношения (25) и из неограниченного возрастания при
п —> оо мы теперь заключаем, что при неограниченном возрастании п
п
J=I
что и доказываем условие полноты (23) и вместе с тем полноту системы собственных функций.
Если непрерывная функция / не удовлетворяет условиям допустимости проблемы, то ее во всяком случае можно аппроксимировать с помощью функции /*, удовлетворяющей этим условиям, и такой, что
функцию же f* мы можем аппроксимировать с помощью функции:
K=Zclu1 /=1
так, чтобьї
Тогда из соотношения
следует, если воспользоваться неравенством Шварца, что ф [/—/*]<0> а в силу минимального свойства интеграла <f)[p„] тем более имеет место неравенство ф [ рп ]<[ є; таким образом условие полноты доказано и для любой непрерывной функции /.
Из доказанного таким образом свойства полноты системы решений наших вариационных задач следует, что этими решениями исчерпывается вся система собственных функций соответствующего диференциального уравнения (доказывается методом, часто применявшимся в гл. V; ср., например, стр. 284).
Из условия полноты (23) легко получить более общее соотношение для двух функций fag'.
OO
Ф [/, g] а [/, Щ J § [ g, U1 ]. (23')
/= і
2. Теорема о разложении. В случае одного независимого переменного нетрудно теперь в дополнение к теореме о полноте доказать с нашей теперешней точки зрения теорему о разложении произвольных функций по собственным функциям и притом при значительно более широких условиях по сравнению с гл, V. Докажем, что всякая функция /(*), удовлетворяющая условиям допустимости вариационной задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно §3
