Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
вдоль одной части Г' границы Г и и = 0 вдоль остальной части Г" границы. Тогда всегда имеет место, неравенство:
Р-п^К-
Мы приходим, к этому результату следующим образом: если в проблему, определяющую п-е собственное значение области G как максимум минимумов выражения 2) [<f>] и не содержащую никаких граничных условий, ввести затем требование, чтобы функция tp обращалась в нуль вдоль границы Г области G, то значение каждого из минимумов, а потому и максимума этих минимумов от введения 9toro дополнительного условия не уменьшается. С другой стороны, новое значение максимума минимумов равно, очевидно, так как в силу граничного условия выражение JD |/f ] совпадает теперь с выражением D [ср]. Поэтому S^ ).п, что и требовалось доказать.
Добавление к теореме 5. Теорема 5 остается в силе и в
том случае, когда граничное условие -—[- ом — 0 заменяется условием
о rI
и = 0 не вдоль всей границы Г, а только вдоль некоторой части F этой границы.
Доказательство такое же, как и для самой теоремы 5.
ТЕОРЕМА 6. Если в граничном условии}— -\-ш = 0 изменить функ-
цию а так, чтобы 'во всех точках границы значения функции о либо всюду увеличились, либо всюду уменьшились, то и все собственные значения изменяются при этом в том же самом направлении, что и функция о, ті е. увеличиваются (или не изменяются) при увеличении а и уменьшаются (или не изменяются) при уменьшении о.
Этот очень важный факт также является непосредственным следствием максимально-минимального свойства собственных значений и выводится на основании второго из формулированных выше принципов. В самом деле, если о во всех точках границы изменяется в одном и том же направлении, то и выражение JD [tpj для всякой заданной функции <р изменяется в Том же направлении, а потому и нижняя грань этого выражения при заданных функциях V1 и максимум этих нцжних граней могут измениться при этом только в том же самом направлении.
Из теорем 5 и 6 видно, что Собственные значения для различных граничных условий находятся между собой в харачтерной зависимости. Когда функция о всюду монотонно растет от нуля до бесконечности, то и каждое собственное значение р монотонно растет от значения,
OH л
принимаемого им при граничном условии — = 0, до его значения при
дП
условии и = 0. Другими словами, услсвие и = 0 является самым силь-
Ъи
ным из рассматриваемых условий (считая с 0), а условие — = 0
о П
является самым слабым. Что предел собственного значения при неограниченном увеличении о действительно равняется \п, проще всего доказать, предварительно исследовав более подробно природу собственных функций. Так как это будет сделано нами. лишь впоследствии, то мы не приводим здесь доказательства этого положения (см. т. И). §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 389
Мы увидим в п. 6, что возрастание собственных значений с возрастанием а происходит непрерывным образом. Далее, исследование асимптотического распределения собственных значений покажет, что, несмотря на отмеченное только что поведение собственных значений, асимптотическое поведение л-го собственного значения не зависит от граничного условия, так как увеличение собственного значения, вызываемое возрастанием функции с, становится при достаточно большом п сколь угодно малым по сравнению с величиной собственного значения.
Факты, формулированные" в теоремах 5 и 6, имеют очень простое
физическое значение. Граничное условие — -J-c«=±=0 соответствует случаю, когда граница упруго связана с положением равновесия, причем величина удерживающей силы задается функцией о (см. стр. 272). Наши теоремы выражают поэтому тот физический закон,-что при возрастании этой силы все собственные частоты возрастают. Условие и = 0 соответствует тому случаю, когда удерживающая сила становится бесконечно большой, т. е. когда граница является абсолютно неподвижной.
Наконец, максимально-минимальное свойство собственных значений дает нам возможность исследовать зависймость собственных значений от коэфициентов диференциального уравнения и области О, опираясь на второй из установленных нами в начале параграфа принципов.
ТЕОРЕМА 7. Если в диференциалъном уравнении L [и] -J-)p« = 0 коэфициент р изменяется во всех точках области .в овном и том же направлении, то п-е собственное значение изменяется при любом граничном условии в противоположном направлении; при изменении же коэфициентов р или q в одном и том же направлении во всех точках области собственные значения изменяются в том же самом направ-
Ъи
лении. (В случае граничного условия — Ц-ок = 0 мы должны здесь
предполагать, чтр с 0.)
В самом деле, предположим сначала, что р изменяется всюду в од-. ном и том же направлении. Тогда значениё выражения 2) [<р] для любой допустимой функции <р. изменяется монотонно в том же направлении; •поэтому и нижняя грань всех значений 2) [.<р] при заданных Vi, а вместе с тем и максимум этих нижних граней, т. е. п-е собственное значение, изменяется при этом в том же направлении, что и функция р. Если же мы будем монотонно изменять функцию р, и придадим ей, например, значение р' р, то для любой допустимой функции сравнения Jf мы будем иметь
