Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Асимптотическое распределение собственных]
значений.
Результаты, полученные нами в § 2, и примененные - там методы дают нам возможность исследовать асимптотическое поведение п-го собственного значения при неограниченном возрастании и и в случае многих независимых переменных так же, как это нами уже было сделано в § 2, 2 и 3, для случая одного независимого переменного. Самым характерным результатом наших исследований, наиболее важным с точки зрения применений к различным физическим вопросам принципиального характера, явится тот факт, что для диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами асимптотическое поведение собственных значений зависит не от формы, а исключительно от площади основной области.
1. Диференциальное уравнение Ди Хи = 0 для прямоугольника. Для прямоугольника со сторонами а и b мы можем согласно гл. V, § 5, 4, задать в явном виде собственные функции и собственные значения диференциального уравнения Дц-|-Хи = 0, а 408
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
именно: при граничном условии и = 0 мы получаем t точностью до нормирующего множителя выражения:
. Inx . тку .(I2 . тЛ ,OQi
яп —Sin-^-, пЧ --f^-j (/, т= 1,2,3,...),
Ьи
а при граничном условии — = O
Ых тку
cos-cos —-
a b
Если мы обозначим число собственных значений, не превосходящих числа X, в первом случае через А (X), а во втором случае через В (X), то эти числа совпадают с числом целочисленных решений неравенства:
причем Iwm должны в первом случае удовлетворять условиям: /^>0, и 0, а во втором случае условиям 0, т^гО. Мы можем теперь легко по іучить для искомых функций A (X) и В (X) простые асимптотические выражения для больших значений X. Так, например, В (X) в точности равняется числу узлов сети квадратов, параллельных осям координат со стороной, равной единице, лежащих внутри положительного X2 у2 X
квадранта эллипса — -j-тіг = • Отношение площади этого квадранта а* оя . тг2
эллипса к числу лежащих в нем узлов рассматриваемой сети стремится к единице при неограниченном возрастании X. В самом деле, если мы каждому узлу сети приведем в соответствие квадрат этой сети, лежащий вправо и выше данного узла, то область, составленная из квадратов, соответствующих узлам, лежащим внутри рассматриваемого квадранта эллипса, содержит в себе весь этот квадрант; если же отбросить те из квадратов сети, которые пересекаются с дугой эллипса и число которых мы обозначим через /? (X), то оставшаяся область содержится внутри квадранта эллипса. Мы получаем, таким образом, неравенство:
?(X)-/?(X)<:X~<?(X).
Но дуга эллипса, заключенная в двух смежных граничных квадратах,
имеет при достаточно большом X длину, большую единицы; поэтому
число /? (X) — 1 не превосходит удвоенной длины дуги четверти эллипса,
которая растет пропорционально Vr X. Отсюда получается искомаія
асимптотическая формула:
Iim ab ab
ши илн?(Х)сл>Х —
X-»се X 4тг 4тг
Точнее мы можем это записать так:
?(X)=^X-f»C]/T, § 4 Асимптотическое распределение собственных значений 409
где с означает независимую от X постоянную, а 101 < I. Это выражение справедливо для обоих рассмотренных граничных условий, т. е. и для А (X), так как число узлов сети на прямолинейных частях границы
а 4- b л— „
квадранта эллипса асимптотически равно числу-у X. Еслн мы рас-
TT
положим собственные значения в последовательность I1, X2,..., An,... в поряаке их возрастания, то мы можем на основании предыдущего асимптотически вычислить п-е собственное значение, полагая A Qn) = п или ВQa) = п. Мы получаем:
¦> 4тг ... . 4тг AQn) с* ~п
или
Iim Ksss^ я-»°о п ab'
2. Диференциальное уравнение Au-}-Xm = O для областей, состоящих из конечного числа квадратов или кубов. Рассмотрим теперь диференциальное уравнение Дм-}-Xm = O для об части О, состоящей нз конечного числа А квадратов (или кубов в случае трех независимых переменных): Площадь или соответственно объем такой области G равняется /=Aa2 или соответственно V=Ac3.
В дальнейшем мы будем обозначать всегда буквой o число, лежащее между—1 и -}—1, а буквами с и С положительные постоянные и разрешим себе не вводить для различных чисел o, с и С особых индексов, если по ходу рассуждения это не сможет привести ни к каким недоразумениям.
Остановимся сначала на случае двух независимых переменных. Пусть A (X) или В (X) означают числа собственных значений диференциального уравнения Au -j-lu=0 для области G, не превосходящих верхней гра-
¦> п ди п
нн X, при граничных условиях U = O или — = 0.
дп
Обозначим через ^^(Х), Aq^Q),..., Aq (X) соответствующие числа
собственных значений для отдельных квадратов, составляющих область G, прн граничном условии и=0, а через Bq^ (X), Bq2Q),,..,
BgfQ) соответствующие числа собственных значений при граничной
условии = 0. Согласно п.1 имеем: Ъп
(X) = I) X + O caV% Bq (X) =^X-J-O ca\fl. (26)
Но из теоремы 5 в связи с теоремами 2 н 4 (см. § 2) следует, что
как эти ч^сла Aq (X) и Bq (X) задаются формулами (26),то мы отсюда заключаем, что
