Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
h{x,y), а также их производные первого порядка по своей абсолютной величине не превосходят достаточно малого положительного числа є, то мы говорим, что степень близости между областями GmG' равна є или что область U аппроксимируется областью G1 с точностью до е.
Если є стремится к нулю, то мы говорим, что G' непрерывным образом переходит в область G. Докажем теперь следующую теорему:
ТЕОРЕМА 10: Если Область G деформиоуется непрерывным образом в только что определенном смысле, то п-е собственное значение диференциального уравнения L [«] -J- = 0 для какого угодно из рассмотренных граничных условий, изменяется при этом также непрерывным образом.
Для доказательства рассмотрим последовательность областей G', для которых введенное выше чйсло є стремится к нулю. Разрешим уравнения (21) относительно X и у и, положив:
<Р (х/у) = ^ix1, у'), р (к, у) =P1Ik', у') и т. д., c[x(s), у (s)] === т(s),
преобразуем оба интеграла, составляющие выражение 35 [<р], в интеграл, взятый по области G', и интеграл, взятый по границе Г' этой области.
Мы получим тогда для области G' новую вариационную проблему с коэфициентами, очень мало отличающи\:ися от первоначальных, и мы сможем доказать непрерывность изменения Собственных значений с помощью методов, аналогичных методам, примененным при доказательстве теорем 8 и 9. Проведем подробнее эти вычисления. Интеграл D [<р] переходит в интеграл:
O1
где M означает функциональный определитель:
M'+SM'+S)-^-
который при достаточно малом є сколь угодно мало отличается от единицы.
Для интеграла по контуру мы получаем:
\ PQtfds fx (s)4*%i&f, г ?'
где ds' означает линейный элемент границы Г.' области G'. Полож им, далее,
О [ф] = J J [Р (Ф*+ Я ФЧ dx dy, ?)' [ф] = D' [ф] + J рх (в) ф* ds'.
Oi г'
Тогда подинтегральное выражение интеграла (22) отличается от подинтегрального выражения интеграла D' [<p'J, во-пе, вых, множителем Ж-1,
сколь угодно близким к единице, во-вторых, множителем , также 400
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
сколь угодно близким к единице, и, наконец, аддитивными членами, содержащими множители:
cPy2.' <РWy И cP'2'
умноженные на функции, стремящиеся к нулю при неограниченном убывании 6. На основании неравенства
g'' 1gi'
мы получаем соотношение;
?>[<?] = (! + S)D'[<p'],
где через 8 мы обозначаем, как и в следующих формулах, некоторую (правда, не одну и ту же) величину, стремящуюся вместе с є к нулю.
ds
Но при достаточно малом є величина также сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому
f p'T(s)<p,2^tfs' = (l -i-g) j" pT(s)<p»ds\
Г'
откуда получаем:
2) [<р] =(!+§) [?']•
Мы должны, далее, преобразовать добавочные услбвия (3'), (17) § 1 для всех функций <р. Получаем: '
^ ^ р fdx dy = ^ ^M-i^-'dx'dy' = 1, о" g'
^^vtdxdy=^[^M-^vidx,dy, = 0 (і= 1, 2, 3,..., п— 1).
G Ьґ
Введем вместо функций to' И Vi функции tp" и Vp отличающиеся от
, / р' дР1
первых множителем у —-— , стремящимся к единице, когда є стремится к нулю, т. е. положим
„ ^ /р'M-I , , ^ /T^R
Тогда функции <р" и V1i удовлетворяют-соотношениям:
JJpcp'Wdy= 1,
Ъ'
t(p<pV^dy = 0 (/=1, 2,. . , и — 1).
g'
Отсюда следует, во-первых, что
2)[<р] = (1 +8) ?)'[<?"], §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 414
а во-вторых, что функция ср" удовлетворяет условиям вариационной задачи, характеризующей п-е собственное значение для области С, причем функции V1i для области G' играют ту же роль, что функции V1 для области G. Так как системы функций V1 пробегают вместе с системами функций V1 всю область допустимых систем функций, то отсюда следует, что и максимум минимумов стоящгго слева выражения отличается от максимума минимумов выражения, стоящего справа, множителем, стремящимся к единице, когда є стремится к нулю.
Таким образом теорема 10 доказана. Вместе с тем проведенное нами рассуждение дает возможность уточнить эту теорему следующим образом.
Добавление к теореме 10. Если область G' переходит в область G с помощью преобразований (21) и если при этом'.
0Л:
<е»
ду
О,
йА
<Є.
* <е
ъу 1<є'
где є означает некоторое сколь угодно малое положительное число, то существует такое, зависящее исключительно от є, число з], стремящееся вместе с г к нулю, что п-е собственные значения JXn и \і!п для областей GuG' при любых из рассмотренных граничных условий удовлетворяют для любого п соотношению:
1ZZ
к
1
<п-
В случае граничного условия и = 0, не содержащего вовсе производной по нормали, теорема о непрерывности имеет место при более широких условиях, а именно:
ТЕОРЕМА 11. В случае граничного условия м = 0 п-е собственное значение диференциального уравнения L [и] -f- Xpw = 0 является непрерывной функцией области Gue том случае, если при непрерывной деформации области не соблюдается требование непрерывного изменения направления нормали.
В самом деле, если границы двух областей GhG' достаточно близки между собой и если направления нормалей в соседних точках отклоняются друг от друга на конечную величину, то мы можем всегда заключить эти две границы между границами двух областей В и В, достаточно близких между собой в определенном выше более узком смысле. Так как п-е собственное значение при граничном условии к = 0 является согласно теореме 3 монотонной функцией области, то п-е собственные значения областей GhG' лежат между и-ми собственными значениями областей В и В'; но эти последние собственные значения на основании теоремы 10 сколь угодно близки между собой, что и доказывает теорему 11.
