Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
«) Этот метод принадлежит Фр., Реллиху: Fr. Reilich, Ein Satz uber mittlere Konvergenz, Gott. Nachr. (math.-phys. Kl.), 1930. 392
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
обозначим эту подпоследовательность снова через ип, то
Iim H [ип ит] = О,
п-'СО m-» CO
но, с другой стороны, в силу свойства ортогональности функций ип мы имеем при п ф т:
H [ип- Uj = 2.
Это противоречие доказывает справедливость теоремы.
В случае большего числа переменных, например двух переменных хи у, можно рассуждать точно таким же образом, опираясь на следующую лемму, которую мы приводим здесь без доказательства1):
Если для множества функций <р (х, у), заданных в области G, оба выражения
[Wx-3^fy) dxdy И-W9Zdxdy Ъ G
остаются ограниченными, то из множества функций <р можно выделить подпоследовательность <рп, такую, что
Iim JJ (Vn^fm)* dxdy = 0.
п,т->СО О
3. Асимптотическое поведение собственных значений для задачи Штурм-Лиу вилля. Для случая задачи Штурм-Лиувилля максимально-минимальное свойство собственных значений дает возможность не только определить очень просто порядок роста п-го собственного значения, но и получить для него асимптотическое выражение. Преобразуем диференциальное уравнение (ру1)'—ЯУ-\-1$у = 0 с помощью приведенной на стр. 277 ,замены переменных к виду:
z!' — rz + lz = 0, (18)
где r(t) есть некоторая непрерывная функция, Причем первоначальные однородные граничные условия для промежутка 0 sStt переходят в новые граничные условия такого же вида для промежутка 0 ^t ^l.
Рассмотрим сначала случай: _у(0)=_у(тт) = О, так что 2(0) = 2(/)=0. Соответствующая вариационная проблема определяет тогда собственные значения этого диференциального уравнения как максимумы минимумов /
выражения (z'2 -J- rz2)dx. При этом мы опираемся на теорему, кото-
4J 0
рая будет доказана нами позже (§ 3, 1), о том, что совокупность собственных функций и собственных значений диференииальноіЬ уравнения совпадает с совокупностью собственных функций и собственных значений соответствующей вариационной проблемы.
Если мы в предыдущем выражении отбросим член \ гZ2 dx, т. е, если
'<) См. Rellich Fr,, ibidem, §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 393
і
мы вместо него рассмотрим выражение: ^ z'2 dx, то вследствие условия
і
^zz dx = 1 второе выражение отличается от первого на величину, не 'и
превосходящую постоянной верхней границы гм (максимум абсолютного значения г). Но максимумы минимумов второго интеграла равны собствен-
TC2
ным значениям цп=п2 —- диференциального уравнения z"-j- Jjiz=O
I H
для интервала (0, 1), и так как IimjJin= со, то мы получаем отсюда
л-»СО
асимптотическую формулу:
= + О9)
где О (1) означает, как и раньше (стр. 314), число, остающееся ограниченным при возрастании п. Возвращаясь к первоначальным обозначениям, мы получаем:
Iim
г -»ОО X,
Точно такая же оценка получается и при уюбых других граничных условиях, если заметить, что асимптотическое поведение собственных значений диференциального уравнения z"Jiz=O не зависит от граничных условий (см. также § 4).
4. Диференциальные уравнения, имеющие особые .очки. Наша асимптотическая оценка легко распространяется на те случаи, когда диференциальное уравнение имеет особые точки. Ограничимся рассмотрением диференциального уравнения Бесселя:
хи" + и' + ^eX-^)и=0,
имеющего решениями бесселевы функции Jm(xV X); зададим при этом в качестве граничных условий условие конечности функции и при х = 0 и условие и (1) = 0, тогда собственными значениями X являются квадраты Xmn нулей функции Jm (ср. стр. 307). В случае, когда ms*l, полезно ввести функции V = Yx Jtn (xj/X), удовлетворяющие диференциальному уравнению:
. /. 4/я2—1 \
\ Г=0'
и определить собственные значения этого диференциального уравнения
D Гф1
в отличие от § 1, п. 2 с помощью максимума минимумов выражения ,
г*т 394
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
где
1 I
о о»
причем в качестве граничных условий мы задаем условия <р(0) = <р (1) = 0.
Так как т Ssl, то D [ср] Ss \y'2dx, так что XnSszz2TT2. С другой стороны,
о
мы получим верхний предел значения кп, если усилим условия допустимости и введем требование <р (х) = 0 внутри интервала 0 =? л; =? є, длину которого мы сейчас выберем подходящим образом, и если, кроме того, увеличим второй член выражения ?>[<р], заменив его постоянной:
і
4 т2 — if , с
Pi dx--
Jj,
4S2 T ?г
Отсюда непосредственно следует, что X " П -f- LwiH мы
(1 — Є)' єг
заставим теперь є стремиться к нулю и выберем подходящим образом закон убывания є, например, положим є = , то мы получим асимп-
Vn
тотическую формулу:
Hm = 1
п->OO П п
для нулей ]/Хт„ функции' Jm, так что полученная нами раньше асимптотическая формула для собственных значений регулярной проблемы остается в силе и в этом случае. Точно такое же соотношение получается и дря других граничных условий, например для граничного условия и'(1) = 0.
