Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 155

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 202 >> Следующая


Наш результат Непосредственно распространяется на нули бесселевой функции нулевого порядка, если принять во внимание доотноше-ние Jq'(x) =—^1O*) (см- ctP- 287). Из этого соотношения следует, что собственные значения проблемы Бесселя при т= 0 и граничном условии и' (I) = O совпадают с собственными значениями этой проблемы в случае, когда /я= Г, при граничном условии U (I) = O (не считая первого собственного значения, равного нулю).

Отсюда непосредственно следует справедливость асимптотической формулы при т = 0

.5. Дальнейший замечания относительно возрастания собственных значений. Случай, когда имеются отрицательные собственные значения. Если в вариационных проблемах п. 2 функция с или соответственно числа Zz1 и H2 не отрицательны, как мы это до сих пор предполагали, равно как и функция д2), то непосредственно очевидно, что ни одно собственное значение

») Другое доказательство для случая m = V будет приведено в §7, 10.

2) Функция р, а также р всегда считаются, неотрицательными. §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 395

не может быть отрицательным. Рассмотрения п. 2 показывают, далее, что если функция q не всюду положительна, то может появиться только конечное число отрицательных собственных значений. Но это остается справедливым и в том случае, когда функция о или постоянные A1 и Лг принимают отрицательные значения. Это следует непосредственно из того, что и в этом случае собственные значения при возрастании п стремятся к бесконечности.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим для краткости случай функций от одного независимого переменного, изменяющегося в интервале О =? X sg тг, и оценим отрицате ьные члены, обусловленные граничными условиями, поступая следующим образом:

Напишем тождество:

I V(O) —у (Z)I =

[ y'dx

где S означает точку интервала 0 sg; х =? t, причем под t мы подразумеваем некоторое чисЛо, лежащее в интервале 0 < t ^tt и которое мы сейчас выберем подходящим образом.

Тогда на основании неравенства-Шварца имеем:

LV(O)-.V(S)I

откуда, обозначая через рт минимум р, получаем, что

Lv(0)|^|y(&)[ + j/-f)pyndx-

Если имеет место условие \ py2dx=\, To имеется такое промежуточ-

о

ное значение что у (S)2 =? -j—, где рт означает минимум функции р.

Vttl

Тогда

Выберем теперь число t следующим образом: Пусть

Wi

pyndx,

1

если стоящий под корнем интеграл превышает -- ; Т0Гда t содержится

в интервале OsgxsSTt. В "противном случае мы полагаем t— тс. Мы получаем отсюда: ___

г о 396

Применение вариационного исчисления

Гл. VI

где с и C1 суть- постоянные, не зависящие от функции у(х). Так как такая же оценка имеет место и для у (тс), то мы получаем отсюда следующее очень важное соотношение:

I V(O)S A8J411)21 ^ C1 у ІІру'Чх I + C8,

о

где C1 и C2 — некоторые постоянные.

Далее, имеем:

те

\\qyUx\ <С,. о

Таким образом мы, наконец, получаем:

® [У] И Ру'Чх - Сл[}ру'Чх - C5 ^ ~ \ру'Чх-С\. о * о о

я

Так как собственные значения, соответствующие интегралу ^ pyndx,

о

неограниченно возрастают, то это же имеет место и для собственных значений, соответствующих выражению ?5 [у]. Поэтому число отрицательных собственных значений остается и в этом случае конечным.

Для проблем в двумерной области получается совершенно аналогичным образом оценка:

j ^pof2 ds I sg C1 | D [?]]+¦ C2, (20)

г *

и из - этой оценки вытекают такие же следствия относительно существенно положительного характера собственных значений 3).

Наконец, заметим, что и для общих вариационных проблем §1,п. 2 можно с помощыЙ совершенно аналогичных рассуждений доказать неограниченное возраста ше-собственных значений 2).

6. Свойства непрерывности собственных значений. Рассмотрим сначала случай, когда функция р заменяется функцией р', и пусть 0 (1— є) р =? р' -j- є) р, где є означает некоторое положительное число. Тогда*, согласно теореме 7, п-е собственное значение диференциального уравнения, соответствующего функции р', содержится между п-ми собственными значениями дифереициальных уравнений, соответствующих функциям (1—є) P И (1-)-6) р но эти последние собственные значения, очевидно, рарны п-иу собственному значению первоначального диференциального уравнения, умноженному на (1 — є)-1 и на (l-j-є)-1. Когда є становится достатожо малым, то эти числа неограниченно сближаются между собой. Таким образом доказано, что п-е

') Ср. Courant R., Uber die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Puysi^, Math. Zeitschrift, Bd. 7, стр.1—57, 1920, особенно стр. 13-17.

*) См. Courant R., Uber die Anwendung der Variationsrechnung. ..., Acta math., 49. §"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 397

собственное значение изменяется непрерывно при непрерывном изменении р.

Точно так же п-е собственное значение зависит непрерывным образом от q. В самом деле, из соотношения р рт, где рт — положительная постоянная, следует:

дбпустимых функций ср.

Отсюда следует, что выражение 35 [срJ изменяется сколь угодно мало при достаточно малом изменении функции q. и притом равномерно для всех допустимых функций q. Поэтому то же самое имеет место и для максимума минимумов выражения 3) [ср].
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed