Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
AQ)=^l + &caVT. 410
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Другими словами, имеет место следующая теорема: ТЕОРЕМА 12. Для случая области, состоящей из конечного числа квадратов с площадью f и при всех рассмотренных выше граничных условиях, число А (к) собственных значений диференциального уравнения Дм \и = 0, не превосходящих верхней границы X, асимптотически равняется числу
&
т. е. имеет место соотношение:
IimIW (27)
Точнее, А (к) удовлетворяет для достаточни больших значений \ соотношению:
С
471 i4W _ j
п
<7Г (28)
где С означает некоторую постоянную, не зависящую от 1.
Если обозначить через ря п-е собственное значение для любого из рассматриваемых граничных условий, то теорема 12 и соотношение (28) эквивалентны соотношению:
Ря= Afn + bcyhy (29)
где снова — а с означает не зависящую от п постоянную.
Чтобы в этом убедиться, достаточно положить в соотношении (28)
Теорема 12 сохраняет свою сипу также и в том случае, когда в граничном условии ~-|-ом = 0 функция о может принимать отрицательные Ъп
значения. Мы в этом убеждаемся, применяя доказательства § 2, 5. Заметим прежде всего, что согласно теореме 5 п-е собственное значение Jin
Ьи
для рассматриваемого граничного условия — -f- ом = 0 во всяком случае
оПг
не. может быть больше м-го собственного значения In для граничного условия м = 0. Мы можем поэтому заранее предположить, что выражение
г
максимум минимумов которого равен fin, не превосходит границы In ни для какой допустимой функции сравнения <р; решение вариационной задачи от этого нового ограничения, накладываемого на функции <р, не изменяется. Но согласно § 2, 5,
\ро PdsjCe1 ІДІОМІ+ са,
где C1, C2 — некоторые постоянные; поэтому
D ] - C1 — C2 < © [<р ] < D fy] + C1 У\Щ\\ + C2- § 4 Асимптотическое распределение собственных значений
411
Из условия .2) If] ^Xn следует, далее:
DM-C1 — с2<Х„,
откуда вытекает, что порядок роста D [(р] при неограниченном возрастании п не превосходит порядка роста Xn, т. е. имеет место соотношение:
D[<f]<c3ln,
где са снова означает некоторую постоянную.
Так как собственное значение Xn=рп удовлетворяет соотношению (29), то при сделанных предположениях относительно if имеет место неравенство:
D [<р] — C4 і/7Г< ?) [ср] < D [<р] + C4 V~n,
и это неравенство сохраняется и для нижних граней выражений D [<р] и 2) [<р] при данных функциях Vv -Vg,.. ."Vn l, а вместе с тем и для максимумов этих нижних граней. Но этот максимум для D [<р] является я-м
сббственным значением при граничном условии—= О, для которого соот-
дп
ношение (?9) уже доказано. Поэтому отсюда непосредственно следует, что и максимум нижних граней выражения 2) [<р], т. е. рассматриваемое
п-е собственное значение прн граничном условии ^-f-ви= 0 также
удовлетворяет этому соотношению, которое эквивалентно теореме 12.
Если вместо двух независимых переменных рассмотреть случай трех независимых переменных, то в предыдущих рассуждениях меняются только выражения Aq(X) и Bq(X) для числа собственных значений, не превос:
ходящих границы X, при граничных условиях M = О и = 0, а именно:
оП
Aq(X)= ^ctn1*+ ЪсаП, Bq(X) = ^2 аЧ^ + ^саЧ. (26')
Мы получаем таким образом в этом случае следующую теорему:
ТЕОРЕМА 13. Число A (X) собственных значений диференциального уравнения Дм -}- Xu = 0, не превосходящих верхней границы X, для многогранника, состоящего из конечного числа кубов, с объемом V, при всех рассматриваемых граничных условиях асимптотически равняется числу
V
—-Xs'' 6 тт2 '
т. е.
Iim A (X) _ 1
VX''' 6тг2 "
(27') 412
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Точнее, выражение A (X) удовлетворяет в этом случае при достаточно больших значениях X соотношению:
6пМ(Х) _ j
VV1
<cvr
где С означает постоянную, не зависящую от Xі).
3. Распространение полученного результата на общее диференциальное уравнение L [и] + X рм = 0. Чтобы распространить полученные теоремы относительно асимптотического распределения собственных значений на случай общего самосопряженного диференциального уравнения (1), представим себе, что квадраты или кубы, составляющие область G, разбиваются путем последовательного деления пополам их сторон на все более и более мелкие квадраты или кубы, и продолжим этот процесс разбиения до тех пор, пока разность между наибольшим и наименьшим значением функций р или р внутри одной и той же элементарной области не станет меньше произвольно заданної о достаточно малого числа є. Заметим, далее, что функция q не оказывает вообще никакого влияния на асимптотическое распределение собственных значений, так как выражение 2) [<g] и максимумы минимумов этого выражения изменяются при отбрасывании функции q на конечную велики
чину, а именно меньшую, чем , где q^ и рт имеют то же значение,
Pm
что и раньше. Мы можем поэтому предположить в дальнейшем, что q = 0.
Ограничимся рассмотрением плоской области, состоящей из конечного числа квадратов. Обозначим число квадратов снова через А, а длину сторон через а; пусть A1 (X) означает число собственных значений диференциального уравнения L [и] -J- X р и = 0 для области G, не превосходящих верхней границы X, причем в качестве граничного условия может быть взято какое-нибудь из рассмотренных граничных условий; предположим сначала, что в условии ^ + ак = 0 функция о Зг 0. Обозначим
