Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
У
равно /, т. е. имеет место соотношение: 4тт
Iimi^ = I, (34)
>.—»оо V
где f означает площадь области G.
При доказательстве мы предполагали, что граница Г области G не имеет угловых точек. Однако все наши рассуждения и полученный результат остаются в силе и в том случае, когда имеется конечное число угловых точек. Точно так же наши предыдущие рассуждения остаются в силе и в том случае, если мы вместо диференциального уравнения Ди-(-Xu = O будем исходить из более общего диференциального уравнения L [и] + Xpи = 0. Для этого случая мы получаем таким же путем, как и в п. 3 следующий результат:
ТЕОРЕМА 17. Число A (X) собственных значений диференциального уравнения L [u] + Xpu = 0, не превосходящих верхней грани X, для области G при всех рассмотренных граничных условиях асимпто' тически равняется выражению:
4 Л
— dx dy, P
т. е.
Um^ 1-ff JLdx4,. х_оо X 4тт JJ р с
С помощью таких же рассуждений, какие были нами проведены здесь для плоских областей, мы получаем для собственных значений пространственных областей следующие результаты:
ТЕОРЕМА 18. Число /I(X) собственных значений диференциального уравнения Ди -f- Xu = 0, не превосходящих грани X, для пространственной области G, объем которой равен V, при всех рассмотренных
Х'1»
граничных условиях асимптотически равняется числу — „- V, т. е.
OTtli
имеет место Соотношение:
.. A (X) 1
Iim = (35)
^00 X bVr 6 тг2
ТЕОРЕМА 19. Соответствующее число собственных значений для общего диференциального уравнения L [u]-[-Xpu = 0 асимптотически равіо выражению:
т § 4 Асимптотическое распределение собственных значений 421
т. е. имеет место соотношение:
[^Ydxdyat- (36)
С
При этом предполагается, что область G ограничена конечным числом кусков поверхностей, имеющих непрерывно вращающуюся касательную плоскость, причем эти отдельные куски поверхностей не должны касаться друг друга, но могут образовать при пересечении ребра или угловые точки.
5. Законы асимптотического распределения собственных значений диференциального у р-а в н е н и я Ди + Хи = 0 в уточненной форме. Изложенная нами теория дает возможность уточнить законы асимптотического распределения собственных значений, выражаемые приведенными выше теоремами, т. е. оценить ошибку, допускаемую при замене выражения A (X) его асимптотическим значением. Мы проведем это исследование для диференциального уравнения Ди 4- Xu = 0.
Для этого мы должны только целесообразнее использовать все возможности, которые нам дает аппроксимирование области G с помощью элементарных квадратов или кубов, и не выбирать эти элементарные области более мелкими и более многочисленными, чем нужно. Рассмотрим сначала случай плоской области G. Мы аппроксимируем G следующим образом: постр им плоскую сеть квадратов со стороной, равной единице. Пусть A0 квадратов QJ, Q2,..-, Q0fto этой сети целиком лежат внутри G. Разобьем теперь все квадраты этой сети на четыре конгруэнтных квадрата со стороной, равной ~. Пусть A1 из этих квадратов, которые обозначим через QJ, Q|,..., Qxh, лежат внутри G и в то же время не содержатся внутри какого-нибудь из квадратов QR. Разделив снова попопам стороны квадратов второй сети, получим третью, более мелкую сеть, которая дает нам еще A2 новых квадратов Qj, Q|,..., Q2h , лежащих внутри G, но не содержащихся внутри какого-нибудь из
квадратов Q9 и Qj, и длина стороны которых равна ~. Через t шагов
мы получим ht квадратов Q^, Qt2,..., Qth со стороной Остаточную
часть области G мы разобьем при этом согласно предписаниям предыдущего пункта на г элементарных областей Ev E2,..., Er указанного
там вида, причем обозначенное там через а число равно теперь ~.
При наших предположениях относительно границы области G имеют место следующие соотношения для чисел Ai и г:
Hi < 2{с, г Ss 2'с, (37)
где с означает некоторую постоянную, не зависящую от і и t и определяемую длиной границы области G *).
') Эти неравенства показывают, что сумма' периметров квадратов Qi или Qt является величиной, порядок которой не превосходит порядка длины границы области О. 422
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Обозначим снова числа собственных значений, не превосходящих грани X, для областей Gjn и Em при граничном условии и = О через Aim (X),
Ъи
Apm (X) и через B11^(I), BFm (X) при граничном условии — = 0. Тогда согласно теоремам 2, 4, 5, в случае, когда в граничном условии
^-J-OM = O коэфициент 0 3=0, имеют место неравенства:
+(%+?+.-.+?). (38>
^(XJXA? + ^ + ...+^) + ...+ ^+^+... + ^).
Но в силу соотношений (26) и неравенства (33) предыдущего пункта правая часть первого неравенства равняется
1 lu+th JrhIJr
4тт !«et- 22 T24 -Г...-T2atT 22,}>Т
+ V2 (^0 + -21 + ! + --+^ + ^"
причем
^0 + 2^ + ^+---+2^—^ ^2С222<.
Поэтому, принимая во внимание неравенства (37), мы можем правую часть первого неравенства представить в виде:
+ (' +2)vT.
Мы получаем, таким образом, что при достаточно больших значениях X имеет место неравенство:
