Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
имеют между собой общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки, то совокупность собственных значений и собственных функций для всей области G состоит из совокупности всех собственных значений и собственных функций для отдельных частичных областей G', G",..., причем каждую из этих собственных функций, определенную только внутри соответствующей частичной области, мы во всех остальных частичных областях полагаем равной нулю.
С физической точки зрения это положение выражает тот очевидный факт, что если в колебательном процессе участвуют несколько не связанных между собой многообразий, то колебания каждого из этих многообразий происходят независимо друг от друга.
Чтобы математически доказать наше утверждение, мы можем поступить двояким образом. Во-первых, мы можем исходить из определения собственных функций с помощью диференциального уравнения. Тогда достаточно заметить, что собственные функции, определенные внутри
какой-нибудь из частичных областей G', G",___и равные нулю вне этой
области, а также все линейные комбинации, составленные из собственных функций этого рода, принадлежащих одному и тому же собственному значению, являются в то же время собственными функциями для всей области G. Обратно, всякая собственная функция для области G является, по меньшей мере, для одной из частичных областей собственной функцией этой частичной области, не обращающееся тождественно в нуль. Во-вторых, мы можем исходить из определения собственных значений с помощью наших вариационных задач и последовательно, шаг за шагом, доказать, что каждое собственное значение для всей области G является в то же время собственным значением для одной из частичных областей.
») Если ввести, кроме собственных функций Ui(X), функции
то можно "эти условия рассматривать как „условия биортогональности' между системой функций и,-, с одной стороны, и системой функций'fl,-—с другой, т. е. представить эти условия в виде:
V1 (X) = Ui (X) + [ k (X, у) Ui (у) dy,
о Экстремальные свойства собственных значений
38U
4. Максимально-минимальное свойство собственных значений. Так же, как в гл. I для случая квадратичных форм, приведенный выше способ последовательного определения я-го со ствен-ного значения и я-й собственной функции может быть и здесь заі енен другим определением, не зависящим от определения предшествующих собственных значений и функций. Это второе определение непосредственно определяет я-е собственное значение и я-ю собственную функцию с помощью свойства, не предполагающего знания предыдущих собственных значений и функций.
Рассмо рим какую-нибудь из исследованных нами вариационных задач, сохраняя обозначения п. 1, и видоизменим условия задачи в
том смысле, что вместо условий H [и, wzI = O (і=1, 2,____ я—1) мы
подчиняем теперь^функции <р я — 1 условиям:
Щ<р, г».] = 0 (?=1, 2,..., я—1),
где vv V2,..., vn_r означают совершенно произвольные функции, ку-сочно-непрерывные в области G. Pa решима ли эта вариационная задача и при каких условиях она разрешима, нас здесь не интересует. Во всяком случае, интеграл ?[tp], или более о.бщее выражение имеет при рассматриваемых условиях некоторую нижнюю грань, зависящую от функций V1, v2,____ Vn^1, которую мы обозначим через
d {vu V2,..., •?/„_,}. Мы утверждаем, что. собственная функция Vn и собственное значение 1 , которые раньше были нами последовательно определены с помощью зависимых вариационных задач, могут теперь после этОго видоизменения рассматриваемых задач быть охарактеризованы с помощью следующей теоремы:
Пусть в области G заданы я — 1 кусочно-непрерывных функций
D1, V2,____ VnI1, и пусть d{vlt v2,____ vn_,\ означает минимум или
нижнюю грань всех возможных значений, которые может принимать ?>Гср1
выражение j для любых внутри G непрерывных и имеющих кусочно-непрерывные производные функций ф, удовлетворяющих ус„„»чнм.
Щср, Vt]=0 (/=1, 2;..., л— 1). (17)
Тогда \п равняется наибольшему значению, которое может принять эта нижняя грань d, если вариировать систему функций Vv V2,..., vn, придавая им всевозможные допустимые значения. Это максимальное значение минимумов d достигается при и = ип и V1==U1, V2 = и2,...,
Vn-l = Un-V
Для случая граничного условия и = 0 мы и нашу вспомогательную вариационную задачу должны рассматривать не как свободную задачу, но дополнить ее добавочным граничным условием ф = 0 на границе Г.
Для доказітельства этой теоремы заметим прежде всего, что при Vl = Ut (1==? і sg: я—1), действительно, согласно определению
d {V1, V2,..., Vn^) = In. Докажем, что при любом выборе V1, Vi,..., vn_1 всегда имеет место 384
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
неравенство d. [V1, V2,___, vn_1} ^ln. Для этого достаточно построить
такую специальную функцию у, которая удовлетворяла бы условиям H[<р, v^=Q (i = \, 2,..., я—1) и для.которой имеет место неравенство JB [ф] Но мы можем, в самом деле, получить такую функцию, полагая ее равной надлежащим образом выбранной линейной комбинации первых я собственных функций, т. е. полагая
