Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
В случае граничного условия ср = О мы должны только присоединить к условиям допустимости предыдущих вариационных задач со свободно вариирующими граничными значениями функции ср граничное
условие ср ==?Ю. Тогда в выражении © [ср] исчезает член J patfds, зави-
г
сящий от граничных значений функции ср.
Теорема о том, что действительно существуют решения рассматриваемых задач на минимум, имеющие непрерывные производные второго порядка, требует особого доказательства. Мы приведем это доказательство позже во втором томе, опираясь на общую теорию прямых методов вариационного исчисления, и примем пока в виде постулата, что инте-'ресующие нас проблемы минимума действительно разрешимы.
Мы должны сначала доказать^ что решения наших вариационных задач являются собственными функциями наших диференциальных уравнений и, далее, что мы этим путем получаем все собственные функции диференциального уравнения. Второе утверждение нами будет доказано в § 3 и будет следовать из того, что получающаяся при решении' вариационной задачи система функций U1, U2____ является, как.
нами будет установлено, полной системой. Чтобы доказать наше первое утверждение, мы могли бы опираться" на общее правило множителей, приведенное в гл. IV, § 7. Однако мы приведем доказательство, независимое от этой теории.
Рассмотрим сначала первую из наших вариационных задач; мы можем допустить, что решение иу этой задачи заранее нормировано, т. е. удовлетворяет условию:
¦Щи,}= 1.
Если обозначим через ? некоторую функцию, удовлетворяющую тем же условиям непрерывности,• что и функция Ср, и-в остальном совершенно произвольную, а через 8 произвольную постоянную, то для любого значения є й при u = u1, X = X1 должно иметь место неравенство:
откуда,- принимая во внимание, что
?>[и] = Х//[к],
следует:
2в {?> [и, Q - Xtf [U, :) 4- (35 [С] - XW[С])} > 0.
Это неравенство может иметь место при всех значениях є только тогда, если выполняется условие:
?>, С] —Ш[и, С] = 0, (4) 378
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
т. е. если обращается в нуль первая вариация выражения 2) — Ш. Преобразуем теперь выражение 2) [к, $] согласно формуле Грина:
Ф [и, С] = — jj" ZL [a] dxdy j pr jj? + auj ds;
G Г
отсюда вследствие произвольности функции ч и получается уравнение (1) и граничное условие
ди і А
---- аи = О
дП
для M = M1 и X = X1 . Для второй задачи на минимум, в которой имеется еще добавочное условие H [-с, M1] =0, мы сначала получаем уравнение (4) при м=м2 и X=X2 только для функций С, удовлетворяющих условию:
H[С, и,]—0. (5)
Но для всякой непрерывной функции Tj, имеющей кусочно-непрерывные производные первого и второго порядка, мы можем определить число t так, чтобы функция ^ = Tj-[-^m1 удовлетворяла условию (5). Для этого достаточно положить t =— //[M1, Tj]; замечая, далее, что в уравнении (4) мы имеем право вместо ? взять в частности функцию м2, которая по условию удовлетворяет соотношению:
H [M21M1J = O, (6)
мы получим, что
Ф[M2, M1] = 0. (7)
Подставляя теперь в уравнение (4) нашу функцию ? = ij-|-tux, получаем, что при U = U2, X = X2:
2)[м, Tj]- Ifi [и, Tj]-ft {®[к, M1]-\Н[и, M1]} =0, откуда, принимая во внимание уравнения (6) и (7), мы получаем:
?[м, TiJ^-XtfK Tj] = 0, (4»)
т. е. уравнение (4) имеет место и для произвольных функций Tj или ? независимо от того, удовлетворяют ли они или нет, добавочному условию (5). Но отсюда непосредственно следует, что функция м=м2 удовлетворяет при X = X2 диференциальному уравнению (1) и соответствующему граничному условию. Продолжая таким же путем дальше, мы убедимся, что вообще все решения U1 наших вариационных задач удовлетворяют при X = X,, где \ — соответствующие значения минимума выражения , диференциальному уравнению (1) и заданному И [и]
граничному условию; эти решения, нормированные согласно уравнению (3'), удовлетворяют соотношениям:
©К] =X,; Sr«,,, »J = 0 1
И[и,]= 1; И [м,(, Mj = O J ^ '' (8} §1
Экстремальные свойства собственных значений
379
Полученные CiHM путем собственные значения удовлетворяют, во всяком случае, соотношению:
K-i^K> О)
ибо для я-го собственного значения нашей задачи на минимум область допустимых функций сравнений сужена по сравнению с я—1-м собственным значением. Поэтому минимум \п не может быть меньше предыдущего "минимума К-і.
С помощью наших вариационных задач мы таким образом, получаем бесконечную последовательность собственных значений и собственных функций соответствующего диференциального уравнения. Этими функциями, получающимися в качестве решений нашей последовательности вариационных задач, исчерпывается вся система собственных функций и собственных значений диференциального уравнения, что является следствием из теоремы о полноте, системы решений вариационных проблем, которая будет доказана в § 3, 1.
2. Дополнения и обобщения1). Само собой очевидно, что и остальные задачи о собственных значениях, рассмотренные нами в предыдущей главе, совершенно аналогичным образом могут бЬіть сведены к проблемам вариационного исчисления. При этом является совершенно безразличным, идет ли речь о кратных или о простых интегралах и будут ли соответствующие диференциальные уравнения Эйлера уравнениями второго или высшего порядка. Так, например, задача нахождения собственных значений диференциального уравнения Штурм-Лиувилля
