Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
женные значения. Поэтому/(^)/(^) стремится к действительному положительному значению 1/(?)!2, когда z стремится к точке Z0 окружности Aj. С другой стороны, f(z) имеет на Aj модуль 1. Стало быть, f(z) удовлетворяет на A1 равенству:
/(*>/(!) = !. (112)
и это равенство удовлетворяется тогда тождественно для всех значений z. Точно так же отражение в окружности A2 дает второе функциональное уравнение:
' 1 • (ИЗ)
wQz)
Так как f(z) имеет в точке с простой нуль, то из последовательного применения этих соотношений вытекает, что f(z) имеет в точках
простые нули и в точках
?^3*:-1, ^t5C-1, ...
простые полюсы, и, стало быть, функция / (z) имеет те же нули и полюсы, что и функция
CO (
п (1-^)(1-^1)
П(і -g^cz) (.I-^v-I ±)
v=l
Но эта функция F(z) удовлетворяет следующим функциональным уравнениям типа (112) и (113):
F(Z)F^y 1, F(Z)FQL)e2-,
что подтверждается простым вычислением. Следовательно, можно так определить постоянные а, Ь, чтобы функция CizbF- (z) удовлетворяла функциональным уравнениям (112), (113) и на A1, A2 имела модуль 1, 366
Проблемы колебаний
Гл. V
так как постоянные а, (> получают действительные значения, а именно:
г~ -T- , 1 1Ogc
—' > 2 log 9
Выбирая для а отрицательное значение, имеем:
х-7 п О
П і
M = I
Это выражение может быть представлено с помощью тета-функиий:
1 00 S1 (z) = — iCq 4 — е-^П (1 — q2"e*kz)(\
V = I
OO
O0(Z) = Cfl (1 — <?2v_1 (1 —?2-'-?-2^),
V = I
где
CO
V = I
Полагая z = е2'™, с = ег:™, получим:
и действительная часть от log f{z) исчезает на A1, A2, естественно, и при комплексных значениях с внутри R, и наша задача, стало быть, действительно решена.
.§ 16. Дополнения к пятой главе.
1. Примеры на колебания струны, а) Оттянутая стру-н а. Для случая оттянутой струны мы представим решение в виде наложения синхронных колебаний. Пусть в момент ^ = O сообщено струне в точке X = й смещение h, которое следует линейно продолжить до обоих концов; начальная скорость пусть будет нуль. Тогда разложение в ряд смещения u(x,t) будет иметь следующий вид:
оо
и (Х, t) = 2 ап s'n ПХ C0S n^'
П = 0 Дополнения к пятой главе
367
причем
а„ = — 1 и (х, 0) sin пх dx = — І і sin nxdx + Л --- sin пх dx ] =
71J " \ J ^ ' J тт — ft
n \ л ь '
b
2h
rfi ft (тг — ft)
таким образом
sin nb\
CO
. 2h утл sin nb sin их
"(x't]=2- —s—cos nt-
w=i
б) Возбуждение импульсом. Аналогично можно рассмотреть случай, когда струне сообщается колебательное движение тем, что .она :выводится из положения равновесия импульсом, приложенным в точке X= Ь. Имеем:
OO
и(х, t) — ^ bn sin пх sin nt,
п=1
2 Г
^bn = — j Ut (х, 0)sin nxdx. о
Теперь необходимо совершить предельный переход, стягивая участок возбуждения в точку х = Ь, но так, чтобы интеграл
\ Ut (х, 0)dx=U
о
сохранял постоянное значение. В пределе получим:
b=2USinnb
TT п
OO
/ Л v-1 sinnft . .
и (х, t) = 2U У.-sin nt.
* ття
п=1
в) Вынужденные движения. Общее решение диференциального уравнения вынужденного колебания
иц — uxx=f (x)Zosnt
с периодической внешней силой гласит:
^/(-х) sinvxrfx — COS nt У sin VX --
ТІ і
2 00
I - -v
-V = I
OO
+ ^ sin vx (ai sin v^ + ^veos vO-
V=I 368 Проблемы колебаний Гл. V
Полагая
2 (
!/(X)SinvxrfAT = Cv,
S
4J'
о
при начальных условиях и (х, 0) = 0, ut (х, 0) = 0, получим для соответствующего интеграла:
со с
и (х, t) = — V Sin VX 2 " 2 (COS nt — COS V/). , П V
V = I
В этой сумме, вообще говоря, преобладает тот член — с.
пй
¦ Sin VX (cos nt-COS W),
в котором п меньше всего отличается от v. Лучше всего рассмотреть поведение этого члена, представив его в виде:
2 cv . . и-f V . . я — V. sm VX sin —~~ t sin —-— t;
-V2 2 2
• п + v ^ sin —А— t с
это выражение можно Толковать как колебание sin —t с перемен-
П - V
ной амплитудой sin —-— t. Колебание становится попеременно то сильнее, то слабее, получается явление „биений". В пределе, при n—»v, интересующий нас член получает вид:
Cv . ¦ 4 t — sin VXsin W- "о , V л
и амплитуда возрастает со временем до бесконечности.
2. Колебания свободно подвешенного каната и бесселевы функции. Однородный канат длины и веса 1 подвеш'ен вдоль оси X, положительное направление которой противоположно силе тяжести, и именно подвешен в точке х=1, так что свободный конец находится в точке х = 0. Если теперь и есть смещение перпендикулярно оси X, то для и получается1) диференциальное уравнение:
Ъ2и_ Ь / Ьи\
Ьх\ їх) '
Подстановка
и = q (1)ч (х)
приводит- к расщеплению:
д _ } я <р
и к краевому условию: ^(1) = 0, <р (0) остается конечным.
') Ср. Kneser А, Integralgleichungen,, стр. 39-43. §,16
Дополнения к пятой главе
369
Отсюда получается:
tf (х) = cJ0 (2 /?,
где J0 (х) обозначает бесселеву функцию нулевого порядка, причем из условия J0 (2>) =0 определяется последовательность собственных частот
v = |/T
