Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ.
Уже в прошлой главе мы указали на тесную связь, существующую между задачей нахождения собственных значений диференциального уравнения и такой же задачей для квадратичной формы. Задачи нахождения собственных значений рассмотренных нами дифереициальных уравнений эквивалентны задачам преобразования к главным осям соответствующих квадратичных форм, содержащих бесконечно много переменных. Если, например, выражения
«-тШ«
о
п
Vu2Idx
о
означают потенциальную и кинетическую энергию некоторого одномерного непрерывного многообразия, то достаточно положить
со
и = 2/, W Sinv*
V=I
и разложить функции р Hf в ряды Фурье. Тогда "оба выражения U и T для потенциальной и кинетической энергии принимают вид квадратичных форм от бесконечно многих переменных /v и . Если бы нам удалось найти такое ортогональное преобразование
оо оо
>v = ]?/MV> Zv = X t^V-
этих переменных в новые переменные qц и д^, при котором выражения 7" и U принимают вид:
до оо
V=I V=I
то числа X и будут собственными значениями рассматриваемой задачи колебаний. Собственные значения квадратичной формы от конечного §1 Экстремальные свойства собственных значений
388
числа переменных характеризуются простыми экстремальными свойствами; поэтому естественно распространить этот способ определения собственных значений также и на случай форм от бесконечного числа переменных,- Но вместо того, чтобы провести здесь все переходы к пределу и исследования сходимости, требующиеся для строгого обоснования этих эвристических рассуждений, мы ,предпочитаем вывести интересую-' Щие нас экстремальные свойства, не вводя функций от бесконечно многих переменных и опираясь исключительно на общие методы вариационного исчисления.
При этом нам придется рассмотреть вместо квадратичных форм T и U два однородных квадратичных функционала. Этот путь приведе-ї нас не только к новому .более простому способу рассмотрения тех задач на нахождение собственных значений, которыми мы занимались в прошлой главе, но он даст нам также возможность глубже исследовать поведение, собственных значений и собственных функций, особенно в случае многих независимых переменных, и обобщить полученные раньше результаты.
§ 1. Экстремальные свойства собственных значений.
1. Классические экстремальные свойства. Рассмотрим задачу нахождения собственных значений самосопряженного диферен« циального уравнения в частных производных второго порядка:
L[u]+lpu = (pux)x + (риу)у-^Яи + Ци = 0 (/7>0, <7>0) (1)
с двумя независимыми переменными X, у для области G, ограниченной одной или несколькими линиями Г, имеющими кусочно-непрерывно вращающуюся касательную.
Граничное условие пусть имеет вид и== 0 или в более общем случае:
^u I п
-+OU = О,
где а означает некоторую кусочно-непрерывную функцию, заданную на границе Г, a означает диференцирование по внешней нормали.
Ctl
Эквивалентные этим краевым задачам вариационные задачи относятся к следующим квадратичным функционалам:
?) [ср] = D [ср] -f ^ pa'fds, (2)
г
P M = \ f р (fx + Vp dxdy + \ \ qfdxdy (2')
о "<f
<?2dxdy, (3)
где 376
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Этим квадратичным функционалам соответствуют следующие билинейные выражения:
Ф[ср,ф]=0[<р,
г
?>[?, ф] = \\ P ('fA + аУ +¦ \\ ?ФФ dx dy,
'O 'п
ф] = \\w$dxdy,
о
причем имеют место соотношения:
ф [<р + ф] = Ф fo] + 2ф [ср, ф] 4- Ф [ф], я[(0-4-ф] = #[ср] + 2//[х, ф] + //[ф].
При этом мы требуем, чтобы функциональный аргумент ср был непрерывен внутри G, включая границу Г, и имел кусочно-непрерывные производные первого порядка.
Мы можем теперь получить собственные значения Xv и соответствующие собственные функции Mv диференциального уравнения (1) на основании следующих минимальных свойств:
Та из допустимых функций, для которой функционал ф [ср] достигает миниму на при ообавочном условии H [ср] = 1, является собственной функцией U1 диференциального уравнения (1) при естественном граничном условии
минимальное значение функционала Ф является соответствующим собственным значением.
Если же присоединить теперь к нашей задаче на безусловный минимум, кроме нормирующего условия
ИЫ = \, (3')
еще добавочное условие
HibU1 ] = 0,
то решение будет снова собственной функцией U2 уравнения (1) с тем же граничным условием, а минимум Ф[и2] = Х2 будет соответствующим- собственным значением.
Вообще задача на минимум ф [ср] == min при нормирующем условии /У[ср] = 1 и добавочных условиях
Я[ср,к,] = 0 (/=1, 2, ..., в—1) обственные
+ OX = O,
последовательно определяет собственные -функции ' ип уравнения (1) при граничном условии
дер %п
и соответствующее собственное значение I11 равняется значению минимума ф [«,,] §1 Экстремальные свойства собственных значений
377
Вместо того, чтобы искать минимум 2) [<р] при нормирующем условии //[а]= 1, можно, отбросив это последнее условие, искать минимум
отношения , причем искомая функция определяется только с точностью до постоянного множителя.
