Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Дальнейшие примеры случаев колебательного уравнения, разрешимых в явном виде. Функции'Mатье (М a t h і е и).
а) Круговой сектор. Уравнение колебания Ди -+- Xu=O для кругового сектора,-представленного в полярных координатах неравенствами Osg/sg 1, OsSft Sg а, также решается расщеплением: u=f(i)g(b). По образцу § 9, в качестве системы собственных функций получается.
. яітї} г , г-- ч
Un = Sm~~JnSVXhmr),
а
причем краевое условие взято и = 0, Jm — бесселева функция порядка
а
(ср. гл. VII), а собственные значения Хп>т определяются из трансцендентного уравнения JnK(VrXn^ т) = 0.
а
б) Эллипс. Решение задачи о собственных значениях для эллипса получается при помощи введения эллиптических координат (см. гл. IV, § 8, 3). Имеем:
и подстановка T=Utf1) V (t2) приводит к уравнению:
U" V
Jj у-=• ^Ot
которое удовлетворяется в том и только в том случае, если UwV двляются решениями дифереициальных уравнений:
или
dW. 1/1 1 \ dU_ JX1 р
сЩ 1 2 U1-^1 1 I1-C2Jcfk1 4(I1-C1)(I1-C2)
U
и соответствующего уравнения для V. Если положить
2V- gI- е2 .
:ChM,
. ^a0 c1-с о
* -- = COS V1
e-, -<?„'
24 Курант-Гйльберг. 370
Проблемы колебаний
Гл. V
то и и V действительны; в результате получаются уравнения:
u + mu.
d2V
^- = ().'cost» +Ji') V.
Решения этих уравнений, которые, кстати, при подстановке и = гЪ переходят друг в друга, называются функциями эллиптического цилиндра или функциями Matme 1).
в) Циклический четыреугольник и циклидный шестигранник. Все рассмотренные специальные области, для которых мы сумели решить уравнение колебания и уравнение потенциала методом расщепления, являются частными или предельными случаями четыре-угоЛьника либо шестигранника, образованного из софокусной системы циклических кривых или циклид (ср. § 9, 3).
4. Параметры в краевых условиях2). Упомянем еще вкратце, каким образом можно привести к интегральным уравнениям некоторые краевые задачи с параметрами в краевых условиях. Пусть, например, предложено диференциальное уравнение Ди = 0 со следующим краевым условием на регулярной, граничной кривой Г односвязной области G, целиком лежащей в конечной части плоскости:
^+ Jw+ A(s) = 0,
где п — внешняя нормаль, X — параметр, h (s) — заданная функция длины дуги S на8кривой Г, Воспользуемся той гриновой функцией T1)
области G1 у которой производные по нормали на контуре исчезают. Тогда формула Грина дает:
и (S. Ч) = \ 1>и (х, у) + h (s)] К (х, у; ?, T1) ds, г
где точка х,у пробегает кривую Г. Если воспользоваться Параметрическими уравнениями кривой Г, x = a(s),y = b(s), то функция К(лг, y;S,rf) обратится в симметрическую функцию K(s, о) двух переменных- s, о:
K(s, a) = K [а (в), Ь (s); а (о), b (а)].
Полакаем еще
и [a (s), b (s)] = tf (s),
[K(s,o)h(s)ds=f(<j); г
тогда написанное выше соотношение для- и примет следующий вид:
/(O) = Cf(O)- X Jx (s, с) ср (s) ds. 'г
*) Ср. Whittaker Е. Т. a"d Watson G. N.. A Course of Modern Analysis, 3-е изд., стр. 404—428, Cambridge 1920.
2) Ср. Hilbert, Integralgleichungen, стр. 77—81. Дополнения к .пятой главе
371
Так как определение и по tf (s) требует только решения первой краевой задачи, то придется исследовать лишь то интегральное уравнение, ядро которого только при a = s логарифмически бесконечно, так что общая теория применима к этому ядру.
Аналогичные рассуждения применимы к общему самосопряженному диференциальному уравнению второго порядка эллиптического типа.
5. Тензоры Грина для систем дифереициальных уравнений. Идея, лежащая в основе введения функции Грина, допускает обобщение почти без видоизменения на задачи, в которых речь идет о системах дифереициальных уравнений, например, об определении вектора U (U1, м2, и3) из диференциального уравнения L [it] =—f, где f (/1,/2./3) — заданный вектор. Под гриновым тензором © диференциального уравнения L [и] = —f, соответствующим заданным однородным краевым условиям, например, U = 0, мы разумеем матричу:
/ K11 K12 K13X @ (лг, у, г; T1, ?) = K21 K22 K23 J \K3i К32 K33/
такого рода, что диференциальное уравнение L [u] = —f эквивалентно формуле:
U (X, у, z) = gj®(х,у, z; S, j], Qf (6, T1, Q dij dt
и что всякий вектор U, представленный в этом виде, удовлетворяет краевым условиям. При этом под @f мы понимаем вектор, получаемый посредством умножения общепринятым способом матрицы @ на вектор f, т. е. вектор с компонентами
киЛ + К12Л + К1я/3, K21Z1 -f K22Z2 -f- K23Z3, K31Z1-J-K32Z2-I-K33Z3.
Каждая вертикаль гринова тензора представляет собою вектор ft, который, за исключением точки х = ?, у = ц, z=Z (источника), непрерывен вместе со своими производными и удовлетворяет диференциальному; уравнению/. [IzI = O и краевым условиям. Тип особенности, которой этот вектор обладает в источнике, легко вывести из его физического смысла, который он сохраняет, как и в случае одного диференциального уравнения, как функция влияния единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке x=Z,y = Ti, z=?. Тензор Грина удовлетворяет условиям симметрии:
