Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(ри')' — qu -j- Ipu = О
при граничных условиях
и' (0) — H1U (0) = 0, и' (тг) -f- A2U(Tr) = O сводится к вариационной проблеме типа:
$ M = J (Pf2 + W2) dx + hlP (0) ? (0)2 4- h2p (тг) Cf (тт)2 =^ min
ь
при добавочном условии :.
TT
^ р ^dx - 1
б
и без граничных условий; придавая A1 и A2 различные частные значения, мы получим любой из рассмотренных нами случаев однородных фаничных условий; если A1 или A2 обращаются в бесконечность, то пблучаются в качестве предельных случаев граничные условия u (0) = 0 й и (тг) = 0.
В тех особых предельных случаях, когда диференциальное уравнение Штурм-Лиувилля имеет на концах основного промежутка особые точки, можно также определить собственные значения и собственные функция с помощью соответствующих вариационных проблем. Ограни-
*)Ср. CQurant R., UberdieAnwendung der Variationsrechnung... Acta math., 49. 380
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
чимся случаями полиномов Лежандра и бесселевых функций. Полиномы Лежандра получаются.при
t1 +1 ф [ср] = \ (1 — -V5) ср,?й?дг, И [ср] = \ fdx, — 1 i— 1
причем функция ip не подчинена никаким граничным условиям. Бесселейа функция нулевого порядка J0 (х]/ X) получается при
і і
ф [ср] = \ x<f'2dx, H [ср] = ^ xtfdx,
о о
где функция ср может при .V==O свободно, вариировать. Бесселевы функции т-то порядка для m ^ 1 получаются при
ф [ср] = \ Глгср'2 -f — ср2) dx, H [ср] = \ х<?Чх
О XJ o
и при. гранитном условии ср (0) = 0.
Для самосопряженных дифереициальных уравнений высших порядков и с большим числом независимых переменных получаются совершенно аналогичные результаты. Так, для диференциального уравнения колебаний пластинки
AAu — lu=0, (10)
например для. случая пластинки с неподвижно закрепленной границей (см. гл. IV, § 10J, имее*м:
Ф M ^= D [f ] = ^ (Д?)2 dx dy, H [ср] = ГС dx dy,
•о д
причем на границе Г области G
V ~ дп ~ '
Все рассмотрения и формулы п. 1 дословно остаются в силе и в этом случае.
Но и другие типы задач о собственных значениях, не рассмотренные нами в явном виде в гл. V, легко укладываются в рамки приведенной в п. 1 схемы. Вспомним, что если р означает плотность массы, непрерывно распределенной по некоторому континууму, то
— Я[ср} выражает кинетическую энергию, а -^ФМ — потенциальную
энергию этого континуума. Является поэтому естественным" рассмотреть и те случаи, когда наряду с массой, непрерывно распределенной по области G, имеются еще отдельные концентрированные массы. Так, например, в случае одномерной области G мы можем допустить, что §1 Экстремальные свойства собственных значений
381
имеются еще массы, сосредоточенные в отдельных точках. Тогда кинетическая энергия задается выражением:
G
где хг, X2, ...,Xh означают заданное точки области G, a — неко торые постоянные. Этот вид функционала Ig [ср] соответствует, следовательно, тому случаю, когда в точках .V1, х2_____ Xh сосредоточены
Массы , причем мы здесь считаем все эти массы положительными. Обобщая таким же образом выражение для потенциальной энергии, мы получаем функционалы вида:
1 Г і"
-J tw^bS^W (12)
J v = l
G
К таким „задачам с нагрузкой" мы можем применить в точности те же самые обозначения и рассуждения п. 1, и мы получим таким путем собственные значения и собственные функции задач этого типа. Эти собственные функции удовлетворяют диференциальному уравнению:
L[u]+l?u = (pu')'— qu+ Ipu = O (13)
всюду за исключением точек Jc1,____ Xn; Для этих же точек получаются сами собой естественные граничные условия и условия разрыва, непосредственно вытекающие из условия обращения в нуль первой вариации. Умноженные на ]/р собственные функции этих задач уже не ортогональны между собой. -Условия ортогональности заменяются здесь условиям вида1):
5 рUtUjdx + ^KUi(X4)Uj(Xl) = I01 ^ (14)
g v=i ir /
Другой пример дают выражения:
© [ср] = J />ср 'Ых + \qy*dx (15)
g g
И
©[?] =\р*ад*-Ь )\k(x,y)4(x)4(y)dxdy, (15')
Ь GG
где k(x,y) есть некоторая заданная симметрическая функция от х и У, причем мы для простоты предполагаем, что функционал Q [<р] не может принимать отрицательных значений. С помощью процесса, изложенного в п. 1, мы получаем в этом случае для собственных функций вместо диференциального уравнения интегро-диферйнциальное уравнение4.
(pu')'- qu+1 [ри + Jfe (X, у) и (у) dy] = 0 (16)
g
м\ Pi2^x+
*) Г. Кнезер называет эти условия „ортогональностью- с нагрузкой*. №
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
с краевым условием, например, и —0. Обобщенные условия ортогональности для собственных функций этой задачи гласят так1):
3. Задачи о собственных значениям для областей, состоящих из отдельных не связанных, между собой кусков. Для гсех задач, приводящих к разысканию собственных значений дифереициальных уравнений; имеет место следующее общее положение, которое пригодится нам позже.
Если область G состоит из нескольких не связанных между собой
частичных областей G', G",____ так что эти частичные области не
