Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Kll (X, у, z\ S, J], С) = Kw (5, Із, Ц; х, у, z), Klk (х, .у, г; S, jj, Q = Kkt (?, ij, Сглг, у, г).
коль скоро, как мы будем предполагать диференциальное выражение L [и] самосопряженное, т. е. получается вариацией квадратичного диференциального выражения, зависящего от вектора и и его первой производной. С помощью тензора Грина разрешается задача о собственных значения^ и т. д. ддя диференциального уравнения L [u] -j- Xu = О совершенно аналогично, как в обыкновенном случае 1J.
0 Ср. Hilbert D., Integralgleichungen, стр. 206—212.
24* 372
Проблемы колебаний
Гл. V
6. Аналитическое продолжение, решений уравнения ДмXu = O. Если решение уравнения Дм-{-Хи = 0 непрерывно вместе со своими производными до второго порядка в замкнутой области G, граница которой содержит прямолинейную часть 1, и если функция и
dU ,
или ее производная по нормали- — исчезает на I, то мы цродолжим
аП
функцию и в область G', которая получается- из G путем отражения в I, относя' соответствующим друг другу точкам равно-противоположные значения при краевом условии м = 0 и равные значения при краевом
условии =0. Тогда полученная функция является в соединенной области 1G-J-G' -решением уравнения Дм-J-Xm = O, непрерывным вместе со своими производными до второго порядка 1J. Аналогичные теоремы справедливы для уравнения пластинки ДДм-}-Хи = 0.
Условие теоремы можно еще более смягчить подобно тому, как это делается с принципом отражения в теории функций, для чего читатель найдет вспомогательные средства в дальнейшем изложении этой книги.
7. Теорема об узловых линиях решений у.равнения Дм-(-Xm = O. Если внутри какой-либо области плоскости-х, у, в которой функция и регулярна 2), пересекается несколько ветвей кривой м = 0, то в этой точке пересечения совокупность встречающихся в ней узловых линий образует равноугольную систему лучей. Эту теорему можно доказать, разлагая функцию м в окрестности рассматриваемой точки в степенной ряд.
8. Пример собственного значения бесконечно большой кратности. Рассмотрим'произвольную плоскую область G, например круг, и для этой области задачу о собственных -значениях урав-
o
нения ДДц — Хи = 0, при краевых условиях Au=O, -— Дм = 0. Легко
о П
получить бесконечное множество собственных значений Хл и собственных функций uh этой задачи, если заметить, что функции Auh = Vh должны быть собственными функциями закрепленной пластинки, если только ДUh не равно тождественно, нулю. Таким образом мы получаем собственные значения, совпадающие с собственными значениями закрепленной пластинки, к которым присоединяется еще нуль, как собственное значение бесконечно большой кратности, В самом деле, при X = O каждая из бесконечного множества линейно друг от друга не зависимых, регулярных в области G потенциальных функций удовлетворяет уравнению ДДм4-Хи = 0 при заданных краевых условиях.
9. Границы применимости теорем разложения. Для наших теорем о разложении по собственным функциям диференциального уравнения
L[u] -{-Хрм = 0
») Ср. Courant R., Beweis des Satzes и т. д., Math. Zeitschrift, т. 1, стр. 321—328, -1918.
2} Нетрудно. усмотреть, что всякое решение и, непрерывное вместе со своей прои шодной, является регулярной аналитической функцией от х и у (ср. также т. И). Дополнения к пятой главе
373
мы положили в основу предположение р > 0. Что это предположение существенно, показывает следующий пример. Пусть в диференциальном уравнении у+ Jifty=O для произвольного частичного интервала основной области р = 0. Тогда всякая собственная функция должна быть линейной в этом частичном интервале; стало быть, теорема о разложении не может быть справедлива дія ,произвольных" функций.
Литература к главе V.
B6cher M., Uber die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie, Leipzig 1894.
— Lefons sur Ies methodes de Sturm, Paris 1017.
Courant R., Zur Theorieder kleinen Schwingungen, Zeitschr. fur angew. Math, u. Merfi., т. И, стр. 278—285, 1922.
Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lei zig und Berlin 1912.
Hort W., Technische Schwingungslehre, 2-е изд., Berlin 1922.
Kneser A., Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik, 2-е изд.. Braunschweig 1У22.
Rockels F., Uber die partielle Differentialgleichung Дм + k2u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Phys k, Leipzig 1891.
Rayleigh J. W, The Theory of Sound, 2 тома, London 1894, 1896. (Перепечатано без_изменений 1926, 1929.)
Riemann В. und Hattendorf K-, Schwere, Elektrizitat und Magnetismus, Hannover 1880.
Weber H., D e partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 2 тома, 4-е изд., Braunschweig 1900, 1901 5-е изд:, Biaunscliweig 1910, 1912.
v. Mises R. und Frank Ph., Die partiellen Diifereniial- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Leipzig und Berlin 1925, 1927.
Whittaker E. T. and Watson G. N., A Course of Modern Analysis, 3-е изд., Cambridge 1920. Глава VI.
Применение вариационного исчисления к задачам
