Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
ловия и сравнивают спектры1) диференциального уравнения для различных граничных условий.
ТЕОРЕМА 2. Рассмотрим некоторое конечное число частичных областей G1, G", G1",... заданной области • G, не имеющих между собой общих внутренних точек. Обозначим через A (?) число тех собственных значений диференциального уравнения .L[u] ^-Xpu = O при граничном условии u=jO дія области G, которые не превышают верхней грани %, а через fA' ('/.), A" (v.), А"' {'/.),___— чис^га соответствующих собственных значений для частичных областей G1, G", G'", ... при том же граничном условии и той же верхней грани %. Тогда имеет место неравенство:
A (?) At (у.) 4- A" (?) 4- Am (ж) 4- ...
Эту теорему мы можем формулировать также и следующим образом: при граничном •условии и=0 п-е собственное значение Xn для всей области не превосходит п-го члена In последовательности всех собственных значений, принадлежащих всем отдельным частичным областям G(,) и расположенных в порядке возрастания их величины, при-'чем каждое собственное значение т-й кратности повторяется т раз.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из следующего замечания. Присоединим к условиям, определяющим собственное значение Xn как максимальное значение минимумов рассматриваемого интеграла, в качестве нового добавочного условия, требование, чтобы функции сравнения <р обращались в нуль как вдоль всех границ частичных областей GW, так и внутри всей части области G, не содержащейся ни в одной из частичных областей GW. В силу формулированного выше основного принципа новое значение максимума минимумов при таком видоизменении условий задачи не меньше прежнего его значения. С другой стороны, видоизмененная, таким образом вариационная проблема является как раз той проблемой, которая определяет п-е собственное значение для области, составленной из несвязанных кусков G', G", .... , т. е. новбе значение максимума минимумов равно ).*. Отсюда следует, что Xn^Xn', согласно утверждению теоремы.
В частности, мы получаем из доказанной только что теоремы следующее очень важное свойство собственных значений Xn для граничного условия и = 0, которое можно назвать свойством монотонности.
1) Спектром мы называем здесь, так же как и раньше, совокупность всех собственных значений.§ 2 Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 387
ТЕОРЕМА 3. При граничном условии и = 0 п-е собственное значение для области G не может быть больше п-го собственного значения для любой части области G при том же граничном условииJ).
Ьи
Для случая граничного условия —=0 получаем следующую теорему:
Ьп
ТЕОРЕМА 4. Пусть G1, G", G'", ... означают некоторое конечное число частичных областей, заполняющих целиком область G и не имеющих между собой общих внутренних точек. Обозначим через В (?) число собственных значений диференциального уравнения
L [ы] -f- >.ри = 0 для области G при граничном условии — = 0, не пре•
Ьп
восходящих верхней грани у.. Тогда В (?) не превосходит общего числа соответствующих собственных значений данного диференциального уравнения для всех частичных областей G<'>. при том же граничном условии и при той же верхней грани ж.
¦ Эту теорему мы можем формулировать Ькже и следующим, образом: Пусть X* означает п-й член последовательности всех собственных значений, взятых для каждой из частичных областей G('> и принадлежащих граничному условию ^ = 0, расположенных в порядке возрастания их величины и повторяющихся сообразно с их кратностью. Тогда п-е собственное значение у.п области G ббльше (или равно), чем
собственное значение у.*.
і fl
Доказательство здесь также получается почти непосредственно путем применения нашего первого общего принципа к вариационной проблеме, характеризующей п-е собственное значение %п области G. В самом деле, если мы в этой проблеме расширим класс допустимых функций сравнения <р и будем считать допустимыми функции ср, имеющце вдоль граничных линий областей 0<'> разрывы непрерывности такого рода, что при переходе через эти линии функция делает конечный скачок, то это ослабление ограничительных условий либо уменьшает значение максимума минимумов, либо оставляет его неизменным. С другой стороны, видоизмененная вариационная проблема дает согласно § 1, стр. 382 как оаз я-е собственное значение для области, • состоящей из несвязанных кусков G(/), при естественном граничном условии == 0, т. е.
Ьп
число . у *. Таким образом соотношение ч.п ^s у* доказано.
Следующие теоремы касаются взаимоотношений между спектрами диференциального уравнения для различных типов граничных условий.
ТЕОРЕМА 5. Обозначим через In п-е собственное значение диференциального уравнения L [к] -f ).рч = 0 для области G при граничном условии и = 0, а через ц„ п-е собственное значение, соответствующее
граничному условию — -f- си = 0 или более общим условиям: — 4- он == 0 Ьп Ьп
') И притом всегда будет меньше последнего, если речь идет о правильной частичной области, как это легко доказать, применяя расеуждение'§ 6.
25*388