Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
I= п (=1
где C1, C2,..., Cn — некоторые постоянные. Тогда из я—1 условий (17) мы получаем я—1 линейных однородных условий для постоянных C1, с2,____ сп, которым можно всегда удовлетворить; условие
I=I
служит только для нормирования остающегося еще неопределенным KO-эфнциента пропорциональности. Так как, далее,
п
®[<р]= Z C1 Ck^ul, Uk],. i, A=I
причем
JD [и„ "J = O при гф/ги [ср. (8)],
то
п
фи=S і =1
но
п
= a In^ll (/ = 1, 2,..,, я),
і =I
поэтому
Следовательно, минимум d\vv V2,..., vn-1} подавно не может превосходить собственного значения In, так что In является, действительно, наибольшим из значений, которые может принимать минимум
d {vv V2,...,
§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений.
1. Общие теоремы. Результаты, полученные нами в предшествующих параграфах, приводят к целому ряду очень важных следствий, так как дают возможность связать максимально-минимальное свойство собственных значений с.некоторыми простыми принципами вариационного исчисления. Первый из этих принципов выражает тот очевидный факт, что при усилении добавочных условий в какой-нибудь заоаче минимума значение минимума не уменьшается, а при ослаблении добавочных условий минимум не возрастает. Второй принцип гласит:§"¦2 Общие следствия йз экстремальных свойств собственных значений 385
если дачи две задачи на разыскание минимума с одниц и тем же классам допустимых функций tp и если для каждой допустимой функ ти tp выражение, минимум которого требуется определить в первой задаче, имеет значение не меньшее, чем выражение, рассматриваемое во второй задаче, то и значение минимума в первой задане не может быть меньше значения минимума во второй задаче.
Чтобы с помощью этих принципов, сравнить, между собой .собственные значения дйух проблем, мы должны устранить затруднение, возникающее при классическом определении собстве-нных значений с помощью их минимального свойства и состоящее в том, что классы допу-:тимых функций для различных собственных значений не совпадают между собой ввиду различия добавочных условий. Мы достигаем этого, определяя собственные значения с помощью их максимально-минималь-ного свойства и получая этим путем для всех соответствующих вариационных проблем один и тот же класс допустимых функций, что делает возможным применение приведенных выщё принципов.
Из первого принципа мы можем непосредственно вывести следующее важное следствие, касающееся/всех колебательных процессов. Рассмотрим - какую-нибудь колебательную систему, собственные колебания которой характеризуются с помощью задачи нахождения собственных значений рассмотренного ¦ типа. Заметим, что любые условия связи, которым должны подчиняться колебания системы, выражаются математически. в виде Добавочных условий, накладываемых на класс допустимых функций сравнения tp. Если в соответствующей проблеме разыскания максимума минимумов усилить ограничительные условия, накладываемые
на функции tp, то для каждой заданной системы функций V1, V2,___,®„_1
нижняя грань d. (^1, v2,____ яп_г\ либо возрастает, либо остается без
изменения, а потому и максимум этих нижних 1грчней, т. е. п-ё собственное значение, либо становится больше, либо остается без изменения при всяком усилении добавочных условий.
Обратно, при ослаблении добавочных условий и-е собственное значение либо становится меньше, либо не изменяется.
С физической точки зрения это означает следующее: . ТЕОРЕМА 1. Если первоначально свободную колебательную систему подчинить каким угодно внешним условиям, то основной тон и все обертоны системы либо повышаются, либо остаются без изменения. Обратно, если освободить систему от условий, связывающих ее колебания, то как основной тон, так и все обертоны системы либо понижаются, либо не изменяются.
Так, например, для случая колебаний закрепленной упругой мембраны мы получаем, что если мембрана закреплена не только вдоль границы, но также и вдоль других линий или кусков поверхности, то основной тон и все обертоны могут измениться лишь в сторону повышения. Наоборот, если мембрана в каком-нибудь месте разрывается, или, Для случая колебаний пластинки, если материал пластинки в каком-нибудь месте получает „трещину", то как основной тон, так и все обертоны могут измениться лишь в сторону понижения. В самом деле, В этом последнем случае для функций сравнения tp и для их производных на месте разрыва или трещины отпадают условия непрерывности.
25 Кураит-Гидьберт.386
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Из нашего принципа мы получаем, далее, целый ряд важных общих теорем относительно распределения собственных значений для рассмот^ ренных краевых задач. Первая теорема касается случая граничного условия и= 0 и сравнивает распределение собственных значений Для всей области G в целом с распределением собственных значений для частей этой области. Вторая теорема относится к случаю граничного условия Ъи
— = 0. Дальнейшие теоремы рассматривают более общие граничные ус-о П