Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению Д*и = ~ можно удовлетворить функцией — 1 log 12sin — j,
зависящей только от координаты o. Стало быть, в силу инвариантности относительно вращений, если обозначить через р (d, <р; 9,,Cp1) сферическое расстояние между двумя точками Р(Ь, if) и P1(SjjCPi) шаровой поверхности, функция
и
») Ср. Hurwitz-Courarit, Funktionentheorie, 3 Aull. (Berlin, 1929), стр. 389—423, в особенности стр. 390—398. Примеры функций ҐриНД
357
является решением уравнения Д*и = —, нерегулярным лишь в точке
4л V
P =z Px. Так как, кроме того, эта функция при Р=РЛ обладает особенностью как раз требуемого типа, то она и представляет собой искомую функцию Грина. Если принять эту функцию за ядро интегрального уравнения
- 2л F(9, <р) = Xj J log ^2 sin J-) KO1, Vl) M1 db ,
то этому уравнению принадлежат, стало быть, (2/z-j- 1)-кратные собственные значения X =/г (/г-j-l) и соответствующие собственные функции K= Yn (9, <f) и только они.
5. Функция Грина уравнения Дм = O для прямоугольного параллелепипеда1). Пусть ограничивающие прямоугольный
* Iа I^. ,с
параллелепипед плоскости будут л; = + —, _у = + — , 2 = +—.
Для определения принадлежащей краевому условию и = 0 функции Грина с установленными выше свойствами, обобщая естественным образом метод, примененный для шара (§ 15, 2), строим пространственную решетку, соответствующую данному параллелепипеду, с узловыми точками
а' (т + т) Ь> (Л+4)с (А»т»й = °,±1.±2,...) и повторно отражаем точку (?, iq, Q в плоскостях решетки. В результате получается система точек [ka -+- (— 1)е?, mb -)- (— l)m7j, nc-f- (— 1)"С]. Представим себе, что в каждой из этих точек сосредоточена единица массы, соответственно положительная или отрицательная, смотря по тому, четно или нечетно значение суммы k-\-m -\-n. В таком случае м<?жно ожидать, что потенциал такого распределения масс на плоскостях решетки равен нулю, ибо на них взаимно компенсируется влияние отдельных единичных масс. Мы приходим таким образом к следующему выражению для К2):
к=1 У У У (-1)?+-+"
^irJfe = -co /b = -CO л = —со
y~N(k, т,п; ?,?,?; х,у, г) '
где
N{k, т, п; S, х,у, г) = = [ka -H- 1 )* S — xf-\- [mb-f (— 1)« ч —у]2 [„с -f (_ 1)" Z — zf.
В выражении (106) необходимо, однако, еще исследовать порядок суммирования, так как сходимость может быть, самое большее, условной. Для этой цели обозначим вообще выражение <р(&-|-1)— <р(&), ГДе y(k)— любая функция от k, через (/г). В таком случае в выражении для К при фиксированных значениях k и т можно внутреннюю
О Рассмотрением вопросов сходимости и проведением вычислений этого пункта мы обязаны А. Островскому (А. Ostrowski).
" 2) Ср. Riemann В. und Hattendorf К., Schwere, Elektrizitat und Magnetismus, 84—:88, Hannover 1880. 358
Проблемы колебаний
Гл. V
сумму но п, опуская множитель (— l)ft+m, писать следующим образом;
N'(k,m) = V Ai 1 — = — V Ад 1 — ,
я=±Г±з,... " Vn(k, т, п) п=о. ±2, ±4,... VN (k, т, п) так как Iim N(A, т,п) = со. То же преобразование применяем к суммам
|я|-»С0
по т и А и, так как lim JV(ft, т) = 0, получим, как сейчас будет до-
\т I -» СО
казано:
Л/" (A) = ? bmN< (k, т)= — ? AmN'(k,m),
яг= +1,.+ 3,... яг=0, ±2,±4,...
и далее
К==- Z Aft Л/" (&) =— — X \ЛГ(А),
4TTft=ti, із,... 4тта=О. +2.+ 4,...
ибо и lim iV"(fe) = 0. Окончательно получаем следующее разжшение:
[ А [ -» OD
К=+гШмЛ7 1 (107)
— 4п k т п т nVN(KmiH)
где каждый из индексов суммирования пробегает либо все четные, либо все нечетные целые числа от — оэ до -J- оо, а перед всей суммой стоит знак плюс или минус, смотря по тому, производится ли суммирование четное или нечетное число раз по всем четным целым числам.
Для доказательства всех наших утверждений достаточно будет доказать абсолютную сходимость последней суммы, которая непосредственно вытекает из оценки общего члена этой суммы:
Li А 1 <
"А "т "я . г гтт.-Г ^
"VN(k, т, п)
(d, IfeH-C1) (d,\m\ + cj (d3\n\ + c3) (лГі.і I I „2 V
(108)
(yk2 + m* + n2 у (а2 -j— т2 —j— я2)2
при
лг2 + у2 + .г2<А, E2-J-Tj2 + ч2< А, A2-f/n2-f-n2>c4(A). dj = dj(h),..., c3 = c3(a)1 с = с(а).
Эта оценка получается трехкратным применением теоремы диференциального исчисления о среднем значении и неравенства 2аЛ<^аг-]-?>2. Одновременно обнаруживается также и равномерность сходимости относительно X, у, Zi Е, >], С, если только суммирование производится по fe, т, п, при условии A2 -}- т2 -j- и2 > c4 (А), так что N(k,m,n) не исчезает ни для какой тройки этих значений А, ти, п.
То же рассуждение обнаруживает также абсолютную и равномерную относительно Xiу, Z, Е, I], С сходимость всех частных производных суммы (107), образованных почленным диференцированием при X2 -\-у2 -J- Z2 <[ А, S2-H2-K2C^1 A2-J-m2 +/г2 > C4 (А).
Теперь получается уже без затруднений, что выражение (107) есть искомая функция Грина; само собой разумеется, что выражения (106) и (107) имеют смысл лишь в том случае, если ни одно из значений Примеры функций ҐриНД
359
N(k,m,n) не исчезает. Что требования 1 и 3 (§ 14, 5) выполняются, не нуждается в доказательстве. Для требования 2, скажем, в плоскости
