Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
В этом пункте мы до сих пор предполагали, что функция Грина для L [и] существует, т. е., согласно п. 2, что X=O не является собственным значением нашего диференциального уравнения L[u\-\-\pu=:0; если же это предположение не оправдывается, то следует лишь заменить обыкновенную функцию Грина обобщенной функцией Грина, и все дальнейшие рассуждения, касающиеся приведения задачи о собственных значениях уравнения (101)к интегральному уравнению, остаются в силе без изменений. Что касается теоремы разложения, то здесь появляется еще дополнительное условие ортогональности к собственной функции U0 (л), принадлежащей значению Х = 0.< Но это условие совершенно исчезает из окончательной формулировки теоремы разложения, если к функциям, по которым производится разложение,' причислить фундаментальные функции, принадлежащие собственному значению X = 0. Позже (гл. VI, § 1) при другом методе рассмотрения задачи о собственных значениях, иа основе вариационного исчисления, отчетливо видно будет, что действительно появление собственного значения X=O ие означает никакой особенности.
В заключение дадим еше разложение по собственным функциям для решения неоднородного • уравнения (99). В согласии с прежней схемой, данной нами в § 3, 3 и оправданной теперь теоремой разложения, или непосредственно из теоремы теории интегральных уравнений из гл. III, формула (56), решение. получается в следующем виде:
OO X1
"W = Zy«»«W. Y* = X=5^. cnr=[un(x)^{x)dx.
Я=1 п X,
Эта формула делает очевидным то обстоятельство, что разрешимость уравнения (99) в том случае, если X=X, есть собственное значение, предполагает условием выполнение соотношения ортогональности J(J)^dx=O.
Выражаясь физически: если внешняя сила в резонансе с одним из собственных колебаний, то стационарное состояние существует в том и только в том случае, если эта сила не совершает работы Функция Грина
341
над системой, когда она колеблется в соответствующем чистом собственном тоне.
4. Обыкновенные диференциальные уравнения высшего порядка. У обыкновенных диференциальных уравнений высшего порядка не появляется никаких существенно новых соображений. Можно поэтому ограничиться рассмотрением одного типичного примера,
а именно диференциального уравнения однородного стержня uV — Iu — О
и неоднородного стержня Ulv— Ipu — О (ср. § 4). Мы и здесь под функцией влияния или функцией Грина К (аг, ?) разумеем смещение стержня, находящегося в равновесии под влиянием единичной силы, приложенной в точке X S, при заданных однородных краевых условиях. В точности тем же методом, что и раньше, получаются для этой функции следующие характеристические условия:
1. Функция К (л:, 5) непрерывна при всяком значении параметра Є вместе со своими двумя первыми производными и удовлетворяет заданным однородным краевым условиям.
2. Для каждого значения х, отличного от S, непрерывны также третья и четвертая производные по х. При х = Z выполняется, напротив, следующее условие разрыва:
Iim [K"'(S + 6,5) — K"'(S — е, 5)] = — 1.
«->о
Я. Повсюду, кроме X = ?, удовлетворяется диференциальное уравнение:
IV
К (X, ?) = 0.
Главное характеристическое свойство функции Грина выражается в в следующем предложении: если между непрерывной, удовлетворяющей кра.вым условиям функцией и (х) с непрерывными производными пербого,. второго, третьего порядка и кусочно-непрерывной' производной четвертого порядка, с одной стороны, и кусочно-непрерывной функцией <р (де), с другой стороны, существует соотношение:
IV
L[u] = u = — tf (х), то существует также соотношение:
Xi
¦«(*)=JК(*; ?)<p(S)dS,
и обратно. Х°
Решение задачи о собственных значениях диференциального уравнения
IV
и —Хри = 0,
соответствующая теорема о разложении, теория неоднородного уравнения
IV
и — Хри = — <Ь(х) и т. д. развиваются здесь точно так же, как соответствующие вопросы в п. 3, с помощью приведения к интегральному уравнению с симметрическим ядром К (х, S) = К (де, S) |/р(*) р (S). Результатом явля- 342
Проблемы колебаний
Гл. V
ется существование бесконечной системы собственных значений Xj, Х?(... и соответствующих фундаментальных функций U1, U2,..., обладающих тем свойством, что функции j/p Ui образуют полную ортогональную систему, и всякая функция rW (х), удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерывные производные до третьего порядка и кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, допускает разложение по этим функциям в абсолютно и равномерно сходящийся ряд. Теорема Mepcepa 1J утверждает, далее, существование билинейного соотношения:
п=1
из которого можно вывести, что справедливость теоремы разложения распространяется и на такие функции, которых третья производная лишь кусочно-непрерывна.
Вопрос о существовании и построении функции Грина или, соответственно, обобщенной функции Грина не представляет здесь никаких новых затруднений; он будет разъяснен на примерах в следующем параграфе.
5. Диференциальные уравнения с частными производными. Точно те же идеи, что и у обыкновенных дифереициальных уравнений, приводят также и для уравнений с частными производными к функции Грина и к применению метода интегральных уравнений. В качестве примера рассмотрим диференциальное уравнение с частными производными второго порядка:
