Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
= (88)
Из нормирующего условия, как и в п. 1, вытекает апп = 0, для определения же беличин ап1(1, п=\, 2,___,а, /гф I) придется воспользоваться
еще уравнениями (86) для второго приближения; из них вытекают равенства (82), которые при /, п = 1, 2, .,а принимают следующий вид:
со
0 = — Vnani - чАї
V=i
или, учитывая то обстоятельство, что (Jjl) (у, 1=1,2, ... , а) — диагональная матрица с диагональными элементами р.п:
сс
0 = ' X anjdjl + aHlV-I — V-nanl — vAf j=*+l
При I = п это дает:
оо
v«=' Z (89)
/=«+і328
Проблемы колебаний
Гл. V
где коэфициенты anj уже определены по формуле (88). При /гф/ имее'м:
1 ос
E "-А-
/=«+1
Резюмируем полученный результат. Для a-кратного собственного значения X1=X надо выбрать такую систему нормированных ортогональных собственных функций U1, ...,Uat чтобы матрица dnl = ^ rjnutdx
оказалась диагональной матрицей с элементами dnn. Тогда возмущение первого порядка для собственного значения дается формулой
J1H = dKn'
а возмущение первого порядка для фундаментальных функций — формулой
OO
причем
/=і
fir = ял
V/-
dnt
пі } ._ \ >
я Л/
если по крайней мере один индекс I или п больше чем а и
1 00 d 4„
In-Il-
/=с-1
если оба индекса / и и различны и не превышают а.
Совершенно аналогично получаются члены возмущения второго и высших порядков, из которых, кстати, возмещение второго порядка для я-го собственного значения получается из (89):
OO гр
V = у а"/ .
J =сс+1
3. Пример к теории возмущений'). Рассмотрим задачу о закрепленной в точках X = O и х = п, свободно колеблющейся струне с постоянным коэфициентом упругости P = 1 и с массовой плотностью р(х), которая для всех значений х из "интервала О ^jc =^tt мало отличается от постоянного значения р0 и, стало быть, имеет вид P (-*) = po + ?a(.v:), где о (х) — заданная функция, а є обозначает „параметр возмущения". Согласно § 3, имеем задачу о собственных значениях диференциального уравнения:
__-HJpo+є с (*)]«„== 0. (90)
') Ср. Rayleigh J. W. S., The Theory of Sound, 2 изд., т. I. стр. 115—118.Теория возмущений
329
При 6 = 0 получается невозмущенная задача «" + X„p0K„ = 0 с реше-. я2 1
нием *„ =—, Un=-—.Sinпх.
р° /f
Для того чтобы получить первое приближение возмущенной задачи (90), достаточно (так как все собственные значения являются простыми) подставить в формулы (80) и (81) из п. 1.
л2 1
An =-, И„ =-T=Sinn*
Po
' /I
г{х) = -1па{х) = — ~а(х)^).
Po
Для возмущения первого порядка Ji11 собственных значений получим:
«2 2 Г
о (л) sirPnxdx,
а для возмущения Vn в фундаментальных функциях:
оо
(91)
/=і
причем
2 /г2 If
a»i—т у0 \ 0^sin пх sitlJx dx О' Ф ").
(92)
:0.
Чтобы пояснить эти результаты на примере, рассчитаем вместе с Рэлеем (Rayleigh) смещение Sx первого узла, соответствующего значению /1 = 2 и у однородной струны лежащего в ее середине.
Так как мы предполагали разложимость функции ип по степеням Sf можно Sat написать в виде Ь x=sv-{- s2 (...). Для определения т получится уравнение:
О = U2 -f єт+... ) = K2 -I- ST .. ) + + ST +.., ^ +
і) Конечно, в п. I мы предполагали, что в возмущающем члене ег(х) функция г(х) не зависит от е, между тем как в соответствующем возмущающем члене уравнения (90) функция Х„а (х) зависит еще от е; однако, так как в последующем нас будут занимать лишь возмущения первого порядка, мы имеем право, как легко видеть, положить г(х) — — \пе (х), где Xn уже не зависит от е.330
Проблемы колебаний
Гл. V
Приравнивая нулю коэфиднент при є в этом уравнении и принимая во внимание (91) и и2 (*) = const X s'n2х, получим:
MTJ і і
-41 і 2
Если, например, неоднородность вызвана тем, что в точке * = — помещена малая масса р0У., то при помощи легко выполнимого предельного перехода получим из формулы (92):
TT . Зтг . 5тг
sin —. sin — sin —
4 4 I 4
I2- -4 З2 —4 1 1 52 — 4
1 1 1
пу 2
Значение ряда в скобках есть
5 7 9 11 '"I-
і і
14-X2j ТГ
=— j/2.
Следовательно,
1 -f л^ 4
о
Ж
§ 14. Функция Грина (функция влияния) и приведение
краевых задач диференциальных уравнений к интегральным уравнениям.
Расширим теперь круг наших рассмотрений и сделаем принципиально новый шаг, полагая в основу не задачу о колебаниях или о собственных значениях, а краевую задачу, и разовьем независимо от всего предыдущего метод решения подобных краевых задач с помощью функции Грина (функции влияния). Этот метод естественно приводит наши диференциальные уравнения с- собственными значениями к симметрическим интегральным уравнениям и дает таким путем решение остающихся еще открытыми вопросов о существовании системы собственных функций, о полноте этой системы и о разложении по собственным функциям.
1. Функция Грина и краевая задача для обыкновенных диференциальных уравнений. Прежде всего рассмотрим линейное однородное самосопряженное диференциальное выражение второго порядка:
L[u]=pu" + ft и' — quФункция Грина