Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 129

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 202 >> Следующая


= (88)

Из нормирующего условия, как и в п. 1, вытекает апп = 0, для определения же беличин ап1(1, п=\, 2,___,а, /гф I) придется воспользоваться

еще уравнениями (86) для второго приближения; из них вытекают равенства (82), которые при /, п = 1, 2, .,а принимают следующий вид:

со

0 = — Vnani - чАї

V=i

или, учитывая то обстоятельство, что (Jjl) (у, 1=1,2, ... , а) — диагональная матрица с диагональными элементами р.п:

сс

0 = ' X anjdjl + aHlV-I — V-nanl — vAf j=*+l

При I = п это дает:

оо

v«=' Z (89)

/=«+і 328

Проблемы колебаний

Гл. V

где коэфициенты anj уже определены по формуле (88). При /гф/ имее'м:

1 ос

E "-А-

/=«+1

Резюмируем полученный результат. Для a-кратного собственного значения X1=X надо выбрать такую систему нормированных ортогональных собственных функций U1, ...,Uat чтобы матрица dnl = ^ rjnutdx

оказалась диагональной матрицей с элементами dnn. Тогда возмущение первого порядка для собственного значения дается формулой

J1H = dKn'

а возмущение первого порядка для фундаментальных функций — формулой

OO

причем

/=і

fir = ял

V/-

dnt

пі } ._ \ >

я Л/

если по крайней мере один индекс I или п больше чем а и

1 00 d 4„

In-Il-

/=с-1

если оба индекса / и и различны и не превышают а.

Совершенно аналогично получаются члены возмущения второго и высших порядков, из которых, кстати, возмещение второго порядка для я-го собственного значения получается из (89):

OO гр

V = у а"/ .

J =сс+1

3. Пример к теории возмущений'). Рассмотрим задачу о закрепленной в точках X = O и х = п, свободно колеблющейся струне с постоянным коэфициентом упругости P = 1 и с массовой плотностью р(х), которая для всех значений х из "интервала О ^jc =^tt мало отличается от постоянного значения р0 и, стало быть, имеет вид P (-*) = po + ?a(.v:), где о (х) — заданная функция, а є обозначает „параметр возмущения". Согласно § 3, имеем задачу о собственных значениях диференциального уравнения:

__-HJpo+є с (*)]«„== 0. (90)

') Ср. Rayleigh J. W. S., The Theory of Sound, 2 изд., т. I. стр. 115—118. Теория возмущений

329

При 6 = 0 получается невозмущенная задача «" + X„p0K„ = 0 с реше-. я2 1

нием *„ =—, Un=-—.Sinпх.

р° /f

Для того чтобы получить первое приближение возмущенной задачи (90), достаточно (так как все собственные значения являются простыми) подставить в формулы (80) и (81) из п. 1.

л2 1

An =-, И„ =-T=Sinn*

Po

' /I

г{х) = -1па{х) = — ~а(х)^).

Po

Для возмущения первого порядка Ji11 собственных значений получим:

«2 2 Г

о (л) sirPnxdx,

а для возмущения Vn в фундаментальных функциях:

оо

(91)

/=і

причем

2 /г2 If

a»i—т у0 \ 0^sin пх sitlJx dx О' Ф ").

(92)

:0.

Чтобы пояснить эти результаты на примере, рассчитаем вместе с Рэлеем (Rayleigh) смещение Sx первого узла, соответствующего значению /1 = 2 и у однородной струны лежащего в ее середине.

Так как мы предполагали разложимость функции ип по степеням Sf можно Sat написать в виде Ь x=sv-{- s2 (...). Для определения т получится уравнение:

О = U2 -f єт+... ) = K2 -I- ST .. ) + + ST +.., ^ +

і) Конечно, в п. I мы предполагали, что в возмущающем члене ег(х) функция г(х) не зависит от е, между тем как в соответствующем возмущающем члене уравнения (90) функция Х„а (х) зависит еще от е; однако, так как в последующем нас будут занимать лишь возмущения первого порядка, мы имеем право, как легко видеть, положить г(х) — — \пе (х), где Xn уже не зависит от е. 330

Проблемы колебаний

Гл. V

Приравнивая нулю коэфиднент при є в этом уравнении и принимая во внимание (91) и и2 (*) = const X s'n2х, получим:

MTJ і і
-41 і 2

Если, например, неоднородность вызвана тем, что в точке * = — помещена малая масса р0У., то при помощи легко выполнимого предельного перехода получим из формулы (92):

TT . Зтг . 5тг
sin —. sin — sin —
4 4 I 4
I2- -4 З2 —4 1 1 52 — 4
1 1 1

пу 2

Значение ряда в скобках есть

5 7 9 11 '"I-

і і

14-X2j ТГ

=— j/2.

Следовательно,

1 -f л^ 4

о

Ж

§ 14. Функция Грина (функция влияния) и приведение

краевых задач диференциальных уравнений к интегральным уравнениям.

Расширим теперь круг наших рассмотрений и сделаем принципиально новый шаг, полагая в основу не задачу о колебаниях или о собственных значениях, а краевую задачу, и разовьем независимо от всего предыдущего метод решения подобных краевых задач с помощью функции Грина (функции влияния). Этот метод естественно приводит наши диференциальные уравнения с- собственными значениями к симметрическим интегральным уравнениям и дает таким путем решение остающихся еще открытыми вопросов о существовании системы собственных функций, о полноте этой системы и о разложении по собственным функциям.

1. Функция Грина и краевая задача для обыкновенных диференциальных уравнений. Прежде всего рассмотрим линейное однородное самосопряженное диференциальное выражение второго порядка:

L[u]=pu" + ft и' — qu Функция Грина
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed