Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
функцию и (х, у) = JJk (х,у; z, Г]) <р (Е, I)) rfErfj] на два слагаемых, соответ-
g
') Действительно, одной лишь непрерывности функции ї недостаточно, чтобы позволить сделать заключение о существовании непрерывных вторых производных; однако предположение, сделанное в тексте, все же сильнее, чем это необходимо. Функция Грина
345
ствующнх разложению функции Грина К =— jr- log г 4-y (*» У> ч)»
а именно и = ф -f- і, причем
2пф(х, у) = — TfiXogrdldri,
G
l(x, = У, Б, ij)s>(?, TfiAdti.
G
Так как функция у(х, у; rfi всюду непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, то Д]( можно образовать дифе-ренцированием под знаком интеграла, и в силу того, что Ду=0, Непосредственно получим и Д^ = 0. Для вычисления Ди остается, стало быть, вычислить только Дф. Первую производную (J)jc можно еще получить диференцированием под знаком интеграла. По введении полярных координат г, O интеграл ^tp (?, tj) log г dl dy принимает вид:
[[ yr logrdr d& ; если до введения полярных координат диференцировать Ь"
по X1 то интеграл примет вид: ^ ср cos 6 dr йЭ, причем подъинтегральное
выражение остается непрерывным. Полагая временно для сокращения — = 5 (л:, у; ч). имеем:
ф, = JJ^dSAj.
о
Заметим теперь, что Sx =— Si, что, стало быть, можно также писать:
Ф*= — §
"о
а эта формула позволяет при помощи интеграции по частям освободиться от производной S^, после чего можно будет еще раз диференцировать под знаком интеграла. Имеем:
Ф--—JSpdj + JJSfcAAj,
Г G
и далее:
Ф« = —$ sXfdri + Л] =J S^dri — jj" Si^dldrl.
ГС го
Точно так же получим:
tK,=-\ Q^cpvAdn
Г G
и тем самым
V ds - g (St <р? + SjJ dl dr{. 346
Проблемы колебаний
Гл. V
Если теперь двойной интеграл в правой части распространить не на всю область G, но на область Gs, которая получается из G вырезыванием маленького круга k радиуса є и окружности х с центром в точке (л;, у), то можно писать:
ц=rJ bS 4ds ~!lmo jT{5&+-?) &
t ' gs
Двойной интеграл в правой части преобразуем по формуле Грина и, так как, повсюду в области G, AS= О, получим:
Д(Ь= f —<Р ds — ( — yds -Mim [ — ш ds = Iim Г — ш ds. Jbn J дл 6 oJa«T ^oJdnir
г г * *
Но, как мы уже раньше видели, интеграл по контуру х при є—>-0 переходит в—ср (х,у), и, стало быть, доказано, что и удовлетворяет „уравнению Пуассона" Д/=— <р.
Для уравнения потенциала в трех измерениях Au = — <р (х, у, z) и для относящейся к нему задачи о собственных значениях уравнения
Аи-\-\и = 0
получаются дословно соответствующие результаты. Только в этом случае у функции Грина появляется другая особенность
1 =_1_
4ттг 4тг У (X — S)2 -f (у — J])2 —j— (z — С)2 '
так что функция Грина К (х, у, z; 2, rt, ?) должна иметь вид:
К (х, у, г-, S, і]* O = -^-J-Y (X, у, z; ?, ij, Є),
причем у (х, у, z; Z, T1, Z) непрерывна вместе с производными первого и второго порядка. Сама функция есть основное решение диференциального уравнения Au = O (ср. стр. 332 и § 15, 2 этой главы).
Вопрос о существовании функции Грина в случае дифереициальных уравнений с частными' производными отнюдь не так легко исследовать, как для обыкновенных дифереициальных уравнений. Общее доказательство существования мы дадим лишь позднее, в связи с прямыми методами вариационного исчисления, а здесь мы должны ограничиться тем, что либо постулируем существование функции Грина, либо удовольствуемся теми случаями, в которых, как в ближайшем параграфе, удается ее явное построение. Но коль скоро функция Грина имеется, дальнейшие рассуждения протекают совершенно параллельно аналогичным рассуждениям у обыкновенных дифереициальных уравнений. Рассмотрим здесь задачу о собственных значениях диференциального уравнения:
Дг> + Хр(л:, у) v = 0 (104)
(причем р > 0) при заданных однородных краевых условиях. Функция Грииа
347
Вследствие основного свойства функции, Грина, из (104) непосредственно вытекает однородное интегральное уравнение:
V (х, у) = X J J К (*, у; ?, 1Ti) р (5, ц) v (Є, Ч) dS й).
G
Если ввести симметрическое ядро
V=-K/p (XjJV) P (S, T]),
то функция
и (х, у) = VrP (X, у) V (X, у) удовлетворяет симметрическому однородному интегральному уравнению:
и (*, у)=X J J К ч)я(Є, Tfidldri, (105)
g
и в силу обратимости этих соотношений задача о собственных значениях диференциального уравнения (104) полностью эквивалентна соответствующей задаче для симметрического интегрального уравнения (105). Это интегральное уравнение допускает применение теории гл. III,, ибо хотя ядро и обращается в одной точке области интегрирования в бесконечность, но такого порядка, что интеграл \ [ К(х, у\ S, Tfitdldri су-
G
ществует и является непрерывной функцией переменных X, у. Стало быть, существуют собственные значения x1, x2,... и принадлежащая им система собственных функций Uv и2,... и соответственно V1, V2,..., причем функции ип можно считать нормированными.
Если W (X, у) — какая-либо функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая краевому условию, то на основании нашей теоремы о функции Грина она может быть представлена истокообразно в виде:
