Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
W (х, у) = JJ К (*, у, I, rfi h (5, rfi dl Л] G
при помощи функции, h = — Aw. Имеем, таким образом, следующий результат: Всякая удовлетворяющая краевым условиям функция w у), имеющая непрерывные производные до в торс го порядка, допускает разло-
co
жение в абсолютно и равномерно сходящийся ряд w = ? сп Vn (х, у),
п = і
сп = ^J р wvn dx dy по фундаментальным функциям. Нормированные t/
фундамента чьные функции Vn образуют, стало быть, полную ортогональную систему функций.
В отличие от обыкновенных диференциальных уравнений здесь необходимо отметить, что вследствие обращения в бесконечность функции Грина сюда нельзя применить теорему Мерсера, так что, несмотря на 348
Проблемы колебаний
Гл. V
положительно определенный характер ядра, нельзя заключать о существовании равенства:
и=1 п
Наша общая теория доказывает лишь более слабое соотношение:
,,„ Шк-S^feM-)'
m~>CO J J \ П = 1 Ал /
G
Для общего самосопряженного диференциального уравнения
pAv 4- pxvx + pyvy — qv+ Ipv = O
рассуждения протекают совершенно параллельно только что проведенным, и мы можем ограничиться констатированием, что и результаты остаются дословно те же. Единственное отличие, которое следует отметить, состоит в том, что функция Грина должна теперь иметь следующий вид:
К (X, у; 6, ч) = - g^y log г+ у С. У1 6. Ч).
причем Y (х, у; S, 4) в окрестности точки S1 4 непрерывна вместе со своими производными до второго порядка /(но, вообще говоря, уже не будет удовлетворять диференциальному уравнению), а а обозначает подходящим образом определенную функцию, имеющую непрерывные производные до второго порядка и для которой выполняется тождество:
г,; S, Jj)= 1.
У дифереициальных уравнений с частными производными высшего порядка единственным существенным отличием тоже является лишь другой вид особенности, присущей ф.нкцни Грина. Рассмотрим, например,—для двух независимых переменных — диференциальное уравнение пластинки
ДД v = — <p(x,y);
требование, которое мы в этом случае налагаем на функцию Грина, сверх краевых условий и условия ДДК=0, заключается в том, что мы предписываем ей следующий вид:
K = — ~r2log г-f у(х,у, S, ч),
где Y (х, у; Е, 4) есть функция, непрерывная вместе со своими производными до четвертого порядка. Что указанная особенность действительно та, что требуется, т. е. соответствует единичной силе, читатель легко сам проверит. Кстати, подчеркнем, что сама функция T2Iogr является „основным решением" диференциального уравнения AAv ~ 0.
И в этом случае переход к интегральному уравнению доказывает существование собственных' значений и соответствующей полной ортогональной системы собственных функций, по которым может Примеры функций ҐриНД
349
быть разложена в области О в абсолютно и равномерно сходящийся ряд всякая функция, удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерызные производные до четвертого порядка.
§ 15. Примеры функций Грина.
1. Обыкновенные диференциальные уравнения. Чтобы пояснить теории предыдущих параграфов на примерах, рассмотрим важнейшие из изученных ранее диференциальных уравнений. Функция Грина выражения
L [и] = и"
К(х, S) =
при краевых условиях ы(0) = и(1) = 0 для интервала (0, 1) есть
'(1 —?)х для Xsg S1 I(I-X)S , x^S.
При краевых условиях и (O) = O1 и' (I) = O функция Грина будет:
для XsgS Л 53 S.'
К(х
¦чг
Для интервала — 1 =? х =? -j -1 и краевых условий
и(— 1) = и (I)=O
получается:
K(x,S)=-lj Ix-S l+xS-1 у
что можно также получить преобразованием из первого примера. Для интервала же OsS X=Sl при краевых условиях и(0) = — «(1), ы'(0) = = —«'(1)
K(x,S)=—^Ix-SI +1.
Функция Грина для диференциального выражения
Z, [ и ] = хи" -j- м',
относящегося к бесселевой функции нулевого порядка J0 (х), для интервала 0 X =? 1 и краевых условий „и (1) = 0, и (0) конечно" определяется так:
K(JC) Q^f-IogS для
\—Iogx „ x sss.
Все это легко вывести и проверить на основании общих правил предыдущего параграфа. Гринова функция диференциального выражения
L[u) = (xu'y-~u, 350
Проблемы колебаний
Гл. V
принадлежащего бесселевой функции jn (х) [ср. формулу (28 ], при краевых условиях „ы (I) = O1 и (0J конечно" имеет следующий вид:
К(X, 6) = ~ [(j-)"-№] <
и соответственно
k^ *>=In [(!)"-<
В качестве следующего примера рассмотрим диференциальное выражение:
L[«] = ((l-*») «'j'-y^«,
которое при A = 0,1,2,... принадлежит шаровым функциям Лежандра нулевого, первого и т. д. порядка. Соответствующий интервал будет— 1 =? л; =?1 > краевые условия: конечность на обоих концах. Можно сразу указать решение уравнения I [и] = 0, остающееся конечным
при X = — 1, а именно: с.^1 —-J ; точно так же решение, остаю-
h_
щееся конечным при а: = —J— 1, равно C2 * ^ . Из этих решений
по правилам § 14,' 2 составляется функция Грина следующим образом:
„, rv 1 /1 + * 1— 6\2 , еч К^> = 2k[u=rX H=T)
Этот метод отказывается служить лишь при A = 0, как и должно быть согласно нашей общей теории, ибо при A = O уравнение l [и] = 0
