Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
331
для функции и (л) в основной области G: X0 х =?;.*:, , где р, р' и
q непрерывные функции от х и /?> 0; соответствующее "неоднородное диференциальное уравнение гласит:
L [«] = -*(*). (93)
где <р (лг) обозначает функцию, кусочно-непрерывную в области G. Речь идет о краевой задаче: найти такое решение u = f(\) уравнения (93), которое на границе области G удовлетворяет заданным однородным краевым условиям, например краевому условию и = 0 1J. При рассмотрении этой задачи напрашивается следующая мысль: мы истолковываем диференциальное уравнение (93), сообразно с прежними рассуждениями, как условие равновесия струны под влиянием распределенной вдоль нее постоянной во времени силы, плотность которой дается функцией <р(х). Совершим теперь предельный переход от непрерывно распределенной силы <р (х) к сосредоточенной силе, т. е. к силе (величины 1 или другой величины), приложенной в точке X = Z, и пусть К(х, Z)— смещение струны под влиянием ,этой сосредоточенной силы величины 1, причем наложенные на струну краевые условия остаются все время в силе. В таком случае действие непрерывно распределенной силы tp (лг) можно рассматривать как наложение действий непрерывно распределенных сосредоточенных сил, плотность которых в точке S равна <р(?); можно, следовательно, ожидать, что искомое решение представится в виде:
X1
H(JC)=J К (X, S)cp (Z) dZ. (94)
X0
Функция К (лг, S), которую мы будем называть функцией влияния или функцией Грина для диференциального выражения L [в], в силу своего определения, должна для всякого значения параметра Z удовлетворять краевым услрвиям при х =X0 и Ar==JC1; отсюда непосредственно вытекает, что функция и(х), истокообразно представленная формулой (94) при помощи ядра К (х, Z) с плотностью источников <р (лг), тоже удовлетворяет этим краевым условиям.
Функция влияния К(лг, S)' должна повсюду, кроме точки X = Z, удовлетворять диференциальному уравнению
1[К] = 0,
ибо она соответствует силе, равной нулю при х ф В точке X=Z функция К(х, S) должна обнаруживать особенность, на существование которой наводит следующее соображение: представим себе, что сосредоточенная сила возникла путем предельного перехода из силы сре(х), которая в области G при \х — є равна нулю и общая величина которой дается равенством
е+«
f <fjx)dx=\.
_
і) Напомним еще раз, что к этой задаче можно привести краевую задачу однородного диференциального уравнения при неоднородных краевых условиях (ср. § 1, 2). 332
Проблемы колебаний
Гл. V
Соответствующее смещение струны обозначим через ke (х, s);, оно удовлетворяет, стало быть, уравнению L [Kj = (pKJ)'— ^K6 =— ?е(*)- Интегрируем это равенство между пределами S — 8 и Є —|— S, причем S^e может быть выбрано совершенно произвольно, но с тем, чтобы промежуток интегрирования оставался внутри области G. Имеем:
E-B
Совершим теперь прежде всего предельный переход е—>0 и допустим, что Ks схчодится при этом к непрерывной функции К (х, ?), имеющей повсюду, кроме точки лг = 2, непрерывную производную. Если заставим теперь также и 8 стремиться к нулю, то для К (х, S) получим следующее соотношение:
*=Е+В I
S-»0
dx
X=Z-Ъ
Pt)'
характеризующее особенность функции TpiHHa.
Это эвристичсское рассуждение мы теперь обратим и превратим его в строгую математическую теорию. Определим прежде всего как функцию Грина для диференциального выражения L [к] при заданных однородных краевых условиях функцию К (х, S) от х и S, удовлетворяющую следующим условиям:
1. при фиксированном значении S является непрерывной функцией от X и удовлетворяет заданным однородным краевым условиям.
2. Производные первого и второго порядка от К по х непрерывны повсюду в области G, кроме точки x = S; в точке же X = S первая производная делает скачок, определяемый следующей формулой:
dK (x, s)
dx
(95)
X=Z-O
P(Z)'
3. К, как функция от х, повсюду в области G, кроме точки x = S удовлетворяет диференциальному уравнению L [К] = 0, ,
Заметим, кстати, что непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям 2 и 3, но не обязательно однородным краевым условиям, называют основным решением диференциального уравнения L [и] = 0.
Определенная таким образом функция Грина действительно дает то, что требовалось, а именно мы сейчас докажем следующую теорему, на существование которой наводят изложенные выше соображения.
Если <р (х) — непрерывная ила кусочно-непрерывная функция от х, то функция
к (x) =Ij К (х, S) ср (S) dl (96)
X0
удовлетворяет диференциальному уравнению
L [и] = — <р (x) (97) Функция Грина
346
и краевым условиям. Если, наоборот, функция и (лг) удовлетворяет диференциальному уравнению (97) и краевым условиям, то ее можно представить в форме (96). Для доказательства первого' утверждения надо только применить элементарные правила диференцирования интеграла по параметру. ¦ Этим путем, принимая во внимание (95), получаем последовательно следующие равенства:
X1
и'(х) = [ K1(XlZ)^(Z)dZ;
«J
-*0
и" (X) =J К" (X, Z) <р (S) dZ + J К" (X, Z) <р (S) dZ -f 0 4- [K' (X, X — 0) — К' (х, X 0)] <р (ЛГ)
