Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Av= — (p(x, у)
в плоскости х, у для какой-либо ооласти G при однородном краевом условии, например V=O; оно характеризует форму закрепленной мембраны, находящейся в равновесии под влиянием постоянной во времени силы плотности <р (х, у). Решение этого уравнения можно опять получить с помощью функции Грина к (х,у; S, jj), представляющей влияние сосредо-хоченной единичной силы, приложенной в точке S, 7]. Эта функция должна быть непрерывна вместе со своими производными до второго порядка повсюду, Кроме ТОЧКИ JC==E1JZ = J], должна удовлетворять диференциальному уравнению ДК = 0, а также заданному однородному краевому условию и наконец в месте нахождения точечного источника x = Z, у = і] она должна обладать особенностью, характеризующей единичную силу. Характер этой особенности обнаружится, если окружить точечный источник кругом k радиуса в, допустить наличие внешней силы плотности <ре (л:, у), которая равна нулю вне круга k и для которой выполняется соотношение* \[уе(х, у) dxdy= 1, и функцию Грина рассма-
k
тривать как предел при исчезающем є того решения Ks (х, у; Е, т;) уравнения ДК = — <рЕ, которое удовлетворяет заданному краевому усло-
') Ср. гл. III, § 5, 4; определенность ядра доказывается здесь таким же обра-дом, как в задаче о колебании струны (ср. стр. 339). Функция Грина
343
вию. Интегрируя уравнение ДК = —по кругу радиуса J^e с окружностью % и применяя формулу Грина (5') на стр. 265, получим:
JfrMs=-I,
*
причем под г= V (х— ?)2 -\-(у — Tj)a разумеется расстояние от точки X, у до точки і], под 5 -<— длина дуги на окружности /. Стало быть, наша функция- Грина должна быть подчинена условию
у; 5, rt)ds = — 1 .
X
Этому условию мы удовлетворим, если потребуем, чтобы в окрестности точечного источника функция К имела следующий вид:
К(ЛГ, у; S1 ч) = —^logr+Y(*. У> ЧЬ
причем функция Y (jc^ ч) непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядка По х и у (и сама является регулярной потенциальной функцией, так как log г при г ф 0 удовлетворяет уравнению потенциала).
Это эвристическое рассуждение мы теперь обратим и определим функцию К Грина при помощи следующих требований:
1. Функция К (л:, у; і]) повсюду внутри области G, кроме точки х=1, у = і], где находится источник, непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядка. Она имеет следующий вид;
К(*, У> Є, Ij) = -^logr f Y(*, У, Б, ч).
где Y (х, У> ч) непрерывна вместе с производными до второго порядка,
2. Функция К удовлетворяет заданным однородным кр,зевьііу условиям.
3. Повсюду, кроме точки, где находится источник, удовлетворяется диференциальное уравнение ДК = 0.
Функция Грина, определенная этими условиями, обладает свойством симметричности:
К(лг, у; S, ч)=К(?, ч; У)-
Доказательство этого закона симметрии, выражающего все то же отмеченное выше физическое свойство взаимности, получается и здесь почти непосредственно из формулы Грина. Применяем эту формулу для функций К (лт/ у\ ч) и К(х, у; 4') к области, получающейся из G, если вырезать из нее по кругу k к k' радиуса ? с центром 'соответственно в точках ч и ?'> ч'>" совершая затем предельный переход є —>• О с учетом особенности функции Грина, получим непосредственно формулу симметрии в виде К($', ч'; S, Ч) = К(?, 4; S', 4') (интеграл по контуру Г области G исчезает в силу краевого условия).
Основное свойство функции Грина выражается и здесь в следующей теореме: Если и(х, у)—какая-либо функция, удовлетворяющая однородным краевым условиям, — скажем, и = О, — непрерывная в области 344
Проблемы колебаний
Гл. V
G и имеющая в этой области непрерывные первые и куеочнс-непре-рывные вторые производные и если
L[u] = Au = — tp(x, у),
то имеет место соотношение:
"(*> = У' *])?(?• Ч) (IZdri.
о
С другой стороны, если <р (х, у) — какая-либо функция, непрерывная в области G вместе со своими производными первого порядка, то функция
"(*, у) = JJ К (х, у; Е, т])<р(Е, TfidZdri, о
непрерывная в области G, удовлетворяет краевому условию, обладает непрерывными производными первого и второго порядка и удовлетворяет диференциальному уравнению
Да = — <р [X, у).
Обратим внимание, что во второй части о характере диференцируемости функции <р (х, у) сделано более сильное предположение, чем в первой, в чем не было необходимости у обыкновенных дифереициальных уравнений.
Первая часть теоремы и здесь почти непосредственно вытекает из формулы Грина (5Г), стр. 265. Применяем ее для т/=К(дс, у; S, і}) к области G — k, получающейся * из G, если вырезать вокруг точки х, у небольшой круг k радиуса є с окружностью х; так как в области интегрирования ДК = 0 и интеграл по контуру г исчезает, то в формуле Грина остается
K-S-iSMJ*****
« g-*
С йК
При предельном переходе є—>О интеграл lu — ds стремится к к, а
J дп
к
j K^rfs— к нулю, откуда получается искомый результат:
K = JJK(PrfErfi). с
Вторую часть теоремы проще всего доказать с помощью искусственного приема, введенного Риманом, пользуясь при этом предположенной непрерывностью первых производных функции <р (х, у)Разложим
