Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 139

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 202 >> Следующая


— 1 as = — e

1 Г cos SX cos s? -1- sin SX sin SC , _ 1 Г

TJ r+^

O O

1+s2 2

В качестве примера гриновой функции диференциального выражения четвертого порядка рассмотрим функцию Грина, принадлежащую диференциальному выражению L [и] = ulV для интервала О ^ х =? 1 при краевых условиях ы(0) = ы(1) = и'(0) = м'(1) = 0 (стержень, заделанный на обоих концах). Без затруднений получается: »-2 /С_1 \2

К(*,?)=——'— (2*? + х — 3S) для х

и соответствующее выражение для л; S=

2. Функция Грина выражения Д и для круга и шара. Самые простые и вместе с тем самые интересные примеры гриновых функций для диференциальных выражений с частными производными доставляет диференциальное выражение Лапласа А и для плоских или пространственных областей. Для некоторых видов областей удается выразить функции Грина явно через известные трансцендентные функции.

При этом целесообразно всегда представлять себе наглядное значение тех введенных выше для уравнения Лапласа функций, которые характеризуют поведение функции Грина в особой точке, причем длгї более подробного рассмотрения мы отсылаем к систематическому изложению теории потенциала во втором томе. Если рассматривать пространство трех

измерений, то функция * — . 1 есть

/- \ {х - S)2 + Су — ч)2 + (er — S)2 Примеры функций ҐриНД

355

ньютонов потенциал массы величины 1, сосредоточенной в точке ij, т. е., диференцируя это выражение по какой-либо из координат х,у, z, пблучим отрицательные компоненты силового поля, которое распространяет вокруг себя по закону тяготения Ньютона масса 1 в точечном источнике. Если в пространственной области G имеется непрерывное распределение масс с плотностью р (х, у, г), то его потенциал представится интегралом вида:

шрс,. ДО,ft ,. q^g-^^-L=^=-^«.

причем интеграл берется по области G.

Этот потенциал распределения масс р удовлетворяет, как мы видели выше, вне области G уравнению Дм= 0, а в области G—поскольку функция р диференцируема — уравнению Ди = — 4ттр.

Если в области G имеется распределение дискретных точечных масс, то его потенциал находят соответствующим суммированием по всем отдельным точкам, в которых сосредоточены притягивающие массы.

В случае двух независимых переменных х, у дел0 обстоит аналогичным образом. Вместо -- здесь появляется функция log —, почему

и говорят о логарифмическом потенциале.

Рассмотрим простейшее краевое условие, а именно и = 0, и прежде всего построим функцию Грина для круга и шара. К той и к другой Пас приводит тот элементарно-геометрический факт, что окружность и сфера являются геометрическим местом всех точек, расстояния которых от двух точек Pv P2 находятся в постоянном отношении; точнее, если P1 (6,?) [или соответственно (?, JJ, ?)] — какая-либо точка внутри круга лг2 >"2 = 1 (шара X2у2z2 = 1), а точка P2 с координатами

6 Ч / ? Ч __С_\

S2 + TiS' S2-H2 U2-HM-S2' S2-H2 + P1 62 + ч2-к2/

является ее отражением относительно окружности или сферы (и, стало быть, непременно лежит вне круга или шара), если, далее, rv г2 обозначают расстояния любой точки P (х, у) [или соответственно (лг, у, z)) от P1 и P2, то отношение T1 :г2 остается постоянным, когда точка P движется по окружности круга (по поверхности шара), а значение этого

отношения равно соответственно j/S2 -j- T12 и JzaS2 -j- ij2 -f- C2. Заметим теперь, что функции — J-Iogr1,- JL log г2 ^функции )

являются решениями уравнения Дм = O и что функции — j-L Iogr1 и со-



ответственно J— обладают в точке Р. особенностью именно того типа, 4 иг, 1 356

Проблемы колебаний

Гл. V

который предписывается для основного решения. Таким образом функции

как раз и представляют собой функции Грина для круга и шара, принадлежащие краевому условию и = О, ибо эти функции на границе исчезают.

3. Функция Грина и конформное отображение. В случае двуі независимых переменных можно вообше воспользоваться тем фактом из теории функций, что гринова функция дает конформное отображение области О на единичный круг. Пусть ? = f(x -f- /у)—аналитическая функция, конформно отображающая область G на единичный круг плоскости С таким образом, что точка S1 ij области О переходит

в центр единичного круга; в таком случае выражение — — log \f(x -f- гу)|

2тт

есть искомая функция Грина для области G. Следовательно, мы знаем функцию Грина для всех тех областей, которые умеем отобразить конформно на круг. Тот факт, что таковыми являются все области, ограниченные кусочно-гладкими односвязными контурами, составляет содержание одной из важнейших теорем теории функций1).

4. Функция Грина уравнения потенциала для шаровой поверхности. Простой пример существования обобщенной функции Грина дает диференциальное уравнение Д*а = 0 (см. § 8 и § 9, 1) при условии регулярности на всей поверхности шара, за исключением точки,

где находится источник. Так как функция и = _. удовлетворяет этому

У 4тт

условию, то необходимо построить обобщенную функцию Грина, удовлетворяющую диференциальному уравнению Д*и = . Эту функцию

4тт

легко получить, пользуясь свойством инвариантности выражения Д*и относительно любых вращений шара. Если источник P1 поместить сначала на северном полюсе 0=0, то немедленно убеждаемся, что диференциальному
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed