Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Xl
[ty(x)u(x)dx=0.
В рассматриваемом случае X = O это означает неустойчивость под влиянием постоянной во времени внешней силы; в частности, под воздействием сосредоточенной силы с -произвольной точкой приложения струна не может установиться в каком-нибудь положении равновесия. Если мы желаем подвергнуть систему действию такой сосредоточенной силы без того, чтобы система как угодно далеко отклонилась от своего положения равновесия, то необходимо ее прежде всего удержать с помощью вполне определенной, постоянной во времени противодействующей силы. Эту противодействующую силу можно выбрать произвольно, но только не ортогонально к фундаментальной функции "к0(х), ибо в последнем случае эта сила не противодействовала бы возбуждению нулевой частоты. Удобнее всего взять противодействующую силу в симметрическом виде: (J) (л:) = — и,, (х) k0 (с); тогда функция влияния К (х, S) сосредоточенной силы, приложенной в точке x=S, будет удовлетворять не только краевым условиям, но, исключая точку x=S, еще и диференциальному уравнению
L [К] =k0 (x) k0 (S),
а при X = S условию разрыва (95). Решение этой задачи может быть определено лишь до произвольной аддитивной функции с (S) k0 (л). Эту неопределенность мы устраняем требованием
Xi
\ К(х, S) K0 (x)dx = О
X0 336
Проблемы колебаний
Гл. V
и функцию It (х, ?), определенную таким образом, назовем обобщенной функцией Грина для диференциального выражения L [и]. В предположении, что L и] есть самосопряженное диференциальное выражение, получим точно так же, как на стр. 333, •свойство симметричности обобщенной функции Грина:
К(х, S) = K(S, X).
Читатель может уяснить себе эти рассуждения на простейшем примере однородной струны, свободной на обоих концах (ср. также § 45, 1). В этом примере фундаментальной функцией для X=O является U0= const, и в качестве противодействующей силы мы возьмем повсюду вдоль струны одну и ту же постоянную силу.
Построение обобщенной функции Грина производится точно так же, как и построение обыкновенной функции Грина. При этом опираются на следующую теорему: Если диференциальное уравнение I[и] = 0 имеет не исчезающее тождественно решение U0 ]), удовлетворяющее краевым условиям, то уравнение L [v] = u0(Z)u0(x)' такого решения иметь не может. Действительно, из последнего уравнения, если помножить его на и0(х) и проинтегрировать по основной области с учетом краевых условий, вытекало бы равенство
xA xS
K0(S)J u0(xfdx=\ v(x)L[u0)dx = 0,
Xq XQ
Xi
что противоречит предположению, что J и0 (х)2 dx ф 0.
Обобщенная функция Грина играет ту же роль, которую выше Hiрала обыкновенная функция Грина. Следует лишь заметить, что решение w(x) диференциального уравнения L [w] = — <р (х) определенно лишь» до произвольной аддитивной. функции си0 (х), а потому может
с1
быть сделано однозначным при помощи требования \ wu0dx=0. Теперь
Je" ~~
мы можем сформулировать следующую теорему: Если ортогональная к U0 (х) и удовлетворяющая краевым условиям фу кция w (х), имеющая непрерывную первую и кусочно-непрерывную вторую производную, связана с кусочно-непрерывной функцией у (х) соотношением
L[w\= — y (x)t то существует также соотношение
X1
w(x) = ['K(x, S)(p(S)rfS. (98)
_____Xo
*) Под решением диференциального уравнения злесь подразумевается функция, удовлетворяющая этому диференциальному уравнению во всем промежутке Jf0, Jf1 и поэтому непрерывная вместе со своей производной во всем промежутке. (Прим: пер.) Функция Грина
337
Обратно, из последнего соотношения, в случае если <f (х) ортогональна к функции U0 (х), вытекает предыдущее. Это обратное предложение содержит вторую часть теоремы, высказанной выше (стр. 335).
Доказательство 'ведется точно так же, как доказательство соответствующей теоремы для обыкновенной функции Грина, причем следует заметить, что всякая функция w (л:) вида (98) должна быть ортогональна к U0 (л), так как функция Грина К(х, S) обладает этим свойством.
У наших диференциальных уравнений второго порядка X = O во всяком случае является простым собственным значением, как мы узнали уже раньше. Однако, имея в виду более общие случаи, укажем вкратце, что в случае кратного собственного значения X = O простейший симметрический способ построения обобщенной функции Грина получается, если выбрать противодействующую силу вида:
(J) (х) = — и0 (x) U0 (S) — U1 (х) k1 (S) —...,
а затем все дальнейшие рассуждения протекают по-предыдущему. При этом к0, K1,___обозначают нормированные ортогональные фундаментальные функции, принадлежащие собственному значению X = O.
3. Эквивалентность краевой задачи диференциального уравнения задаче решения интегрального уравнения. С помощью функции Грина мы достигнем теперь окончательного решения рассмотренной раньше задачи о собственных знамениях тем, что перейдем от диференциального уравнения к интегральному. Рассмотрим линейную совокупность диференциальных уравнений, зависящую от одного параметра X:
I [к]+Xpa = (J)(X) (р(х) >0), (99)
где (J) (х) — кусочно-непрерывная, р (х) — положительная непрерывная функция, а к должна удовлетворять заданным краевым условиям, скажем к = 0. С помощью функции Грина для L [к], существование которой при заданных краевых условиях мы здесь предполагаем, из формулы (94) для ср(х)=Хрк — (J) получаем непосредственно следующее уравнение, совершенно эквивалентное уравнению (99):
