Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
'.(«=¦/уем
(69)
-./2 . тт
1/ TsinnT
*„'Ю=-7І/ "rsmn~t+0(l) (70)
справедливы вообще; коль скоро в краевом условии z' (O) — Az(O) = O коэфициент h остается конечным.
Кстати заметим, что из нашего интегрального уравнения (64) Воль-терры можно выв'ести даже значительно более точные выражения для фундаментальных функций и их производных, соответственно подчерк- 320
Проблемы колебаний
Гл. V
нутому уже в гл. III обстоятельству, что ряд Неймана такого интегрального уравнения Вольтерры всегда сходитсяДля вывода нет нужды возвращаться к общей теории; берем для с в (64) значение 1, отказываясь тем самым от нормирования, подставляем затем под знаком интеграла в правой части вместо функции снова ее значение, даваемое интегральным уравнением; повторяя последовательно этот процесс и полагая для краткости v (t) = sinV \ t, получим непосредственно следующую формулу:
і
*(') = »(<) (T1) r(Tj) sin \гї (t — T1) 4- (71)
' 'о
t t1
+ Т.МrfV (?) r(h) Г (T2) Sin VT(t - T1) Sin VT (T1 - T2) +
О о
t t1 ts
+ ^ (?) )r (T2) /-(T3) SinVT (t - T1) X
о о и
X Sin УТ(т, _ Tg) sin V T (T2 — T3) 4- ...
t -п — 1
... 4- рт= \<th~ ^Твг(тя)r(T1).../-(T71)Sin/M^-T1) .. .Sin /Mv1-Tll).
о о
Итак, мы видим, что этот ряд, расположенный по убывающим степеням / \, можно продолжать до бесконечности и получить таким образом для z(t, ),) ряд, сходящийся для всех значений >, 0, расположенный по убывающим степеням V X • Если оборвать ряд на я-м
члене, то ошибка будет более высокого порядка малости, чем Стало быть, ряд имеет асимптотический характер.
W
§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений.
Собственные значения рассмотренных нами до сих пор задач образуют безгранично возрастающую числовую последовательность. Если же коэфициенты диференциального уравнения имеют особую \очку на границе основной области, прежде всего, однако, в том случае, если основная область простирается в бесконечность, спектр, т. е. совокупность собственных значений, может показывать совершенно другую картину.
') См. Liouville J., Journ. de math, pures et appl., т. 1, 2 (1836—1837) (см. перечень литературы), где встречаются интегральное уравнение Вольтерры и ряд Неймана. § 12 Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений 321
В частности могут встретиться спектры, содержащие все числа какого-нибудь интервала значений переменной X, так называемые непрерывные спектры. В отношении соответствующих собственных функций теорема о разложении переходит в этом случае в теорему о выражении с помощью интеграла типа Фурье.
1. Тригонометрические функции. Простейшую задачу такого рода представляет диференциальное уравнение
и" -j- Iu = О
для интервала — со<^л:<]оо с „краевым условием": и ограничено в бесконечности. Очевидно, всякое неотрицательное число X является собственным значением с собственными функциями sin у X х, cos У X х. Специальная интегральная теорема Фурье из гл. II, § 6 заменяет для этой задачи о собственных значениях теорему о разложении.
Появление непрерывного спектра можно себе уяснить точно так же, как и происхождение интеграла Фурье, из теоремы о разложении, исходя из задачи о собственных значениях для когіечного интервала и совершая затем предельный переход ^ бесконечному интервалу.
2. Бесселевы функции. Аналогично обстоит дело и в задаче о собственных значениях диференциального уравнения Бесселя:
(JOi')'+ (u —= 0
для интервала О^Ж^со при краевом условии ограниченности решения ДЛЯ X=O и X—»-со. Все бесселевы функции U=JB(V\ X) при ).5г0 являются фундаментальными функциями. Мы имеем, стало быть, непрерывный спектр из всех неотрицательных значений X.
И здесь теорема о разложении заменяется теоремой о представлении произвольной функции f(x) в виде интеграла, у которого областью интегрирования является спектр, т. е. континуум положительных чисел. Эта интегральная теорема гласит так:
со со
/(X) = \ип (tx) g(t) dt, g(t) = \ Vn (?/)/(S) dl. 'о о
Для того чтобы эти равенства были справедливы, достаточно выполнения следующих условий: 1) чтобы функция f{x) была кусочно-гладкой при X 5а 0, 2) чтобы существовал интеграл
со
\x\m\dx,
и
и 3) если 0, чтобы было /(O) = O. Доказательство этой интегральной теоремы мы дадим лишь позднее, в гл. VII, § 2.
3. Задача о собственных значениях уравнения колебания для бесконечной плоскости. Задача о собственных значениях диференциального уравнения Дм-|-Х« = 0 для всей плрскости X, у, при краевом условии ограниченности решения в бесконечном, допускает решение в двух различных видах. Во-первых, можно рассма-
21 Курант-Гильберт. 322
Проблемы колебаний
Гл. V
тривать как фундаментальные функции все произведения тригонометрических функций вида и = sin а (х—?) sin [5 (у—Jj), причем S1 щ и а, ? — произвольны, а собственным значением является ). = а2 —Ь ?2. Стало быть, и здесь собственным значением является всякое неотрицательное число а всякому такому собственному значению, очевидно, принадлежит еще континуум собственных функций. Соответствующее интегральное выражение есть не что иное, как интегральная теорема Фурье для плоскости (ср. гл. II, § 6).
