Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1
имеет нормированное, всюду регулярное решение и=—=, удовлетво-
V 2
ряйщее обоим краевым условиям. Стало быть, здесь следует построить >ринову функцию в обобщенном смысле, удовлетворяющую диференциальному уравнению:
Нетрудно получить для =>той функции следующее выражение: Ї log [(1 — X) (1 -f 6)] + С для X < 6,
К(*,6)={
—J-Iog[(1 +*)(!— 6)]4 с „ Примеры функций ҐриНД
351
где с = log 2 ¦
В качестве другого простого примера существования обобщенной функции Грина возьмем диференциальное выражение:
L[u] = и",
рассматриваемое в интервале — 1 sg х =? -j- 1 при краевых условиях периодичности: и(—1) = ц(4-1), и'(—1) = и'(+ 1). Так как — _ есть
V 2
регулярное решение уравнения L [и] = 0, удовлетворяющее обоим краевым условиям (физически речь идет о струне, свободной на обоих концах), то необходимо построить обобщенную функцию Грина, удовлетворяющую диференциальному уравнению.
Нетрудно получить
К(х, +
Пользуясь всеми этими гриновыми функциями как ядрами, можно теперь построить соответствующие интегральные уравнения, но нет необходимости выписывать их в явном виде. Зато мы рассмотрим следующие билинейные формулы, относящиеся к нашим примерам:
OO
sin rmx sin яті?
я = і
(I-S)X (I-X)S
л2 ^
Sin I I TTX sin I Ы) I TiS
I 2
<
I6
K(X1S)=X1
где
(*<&), {X >5),
п(п-t-L)
{-4-log[(l-X)(l+S)] -t-log2-l ДЛЯ x<S, K(X1S)=I , 2
(-.ylog[(l+x)(l-S)] + log2--i я j
S.
В заключение отметим еще особо гриновы функции и интегральные уравнения, относящиеся соответственно к полиномам и ортогональным функциям Эрмита и Лагерра.
Диференциальное уравнение (49) ортогональных функций Эрмита:
«" + О — х2)и+Хи = 0, 352
Проблемы колебаний
Гл. V
при краевом условии: регулярность в бесконечности, имеет число X = O собственным значением. Во избежание необходимости построения обобщенной функции Грина рассмотрим значение X = — 2, которое наверно не является собственным значением (ср. стр. 310), и в соответствии с этим построим гринову функцию для диференциального выражения:
L[u] = u" — (\-\-х*)и
при краевом условии исчезания при х = + со. Для того чтобы получить общее решение диференциального уравнения 1[и] = 0, исходим из
X»
замечания, что и(х) = е2 есть решение этого уравнения. Полагаем общее
ifl
решение в форме u = we2 и для W получаем диференциальное уравнение:
w"-\- 2w'x = 0,
которое, помимо само собою разумеющегося решения да = const., имеет еще решения:
*
W = C1 \ е~^dx.
Следовательно,
— P — U = C1C2 \ е dx.
Отсюда получаем частные решения, исчезающие соответственно при X = со и при X = — оо:
.со
С xfl С *
Ie dx и be2 I е dx,
ае2
-OO
и с их помощью находим для функции Грина следующее выражение1):
со
К(*, S)
і г -р с-р ,
—_е 2 і е dt \е dt для X sS 5,
У" J J
—со е
1 4-е' Г -р f -P,
е 2 і е dt\ е dt для X Ss 5,
|/1т
— со
причем коэфициент -у= появляется вследствие нормирования разрыва V тг
і) Ср. Neumann R., Die Entwicklung willkurlicher FunKtionen и т. д., Дисс. Breslau 1912. Примеры функций ҐриНД
363
на основании интегральной формулы:
+ 00
1 г
-OO
e~pdt=\.
V¦
Диференциальное уравнение 1[и]-|~Хи = 0 и соответственно интег-
OO
ральное уравнение и(х:)=Х J К (х, S) и (E) dS имеют собственные значе-
—со
ния Х=2я-|-2 (я== 0,1,2,...) и фундаментальные функции
А»
в 2HJx).
X
Ортогональные функции Лагерра e~~vLn(x) удовлетворяют диференциальному уравнению:
+ = |)и + Х« = 0
для собственных значений X = я (я = 0,1,2,___). Рассмотрим это диференциальное уравнение для частного значения X = — 1 и определим L [и] равенством:
X
Диференциальное уравнение L [и] = О имеет частное решение е2. Полагаем общее решение в виде:
X
и = we 2 ;
для W мы получим тогда совершенно подобно предыдущему:
W
л
так что два частных решения, из которых первое регулярно при л:=»О, а второе исчезает при х = -|-со, даются выражениями:
, OO
?. і. ае 2 и be 2
Jf*
Из этих частных решений гринова функция для поставленных и § 10 4 краевых условий составляется следующим образом:
К (Я, 5) =
XjHco 2 С Є
е dt для X Е,
*±L?e
е 2 I — St для X^zZ-
23 Куріші-ГиліСері. 354
Проблемы колебаний
Гл. V
Диференциальное выражение
L [и] = и''
для интервала — со<^х<^оо, с краевыми условиями: ограниченность при х —>- + оэ, не имеет функции Грина в соответствии с тем обстоятельством, что однородное уравнение и" = 0 имеет регулярное в бесконечности решение M = Const. Напротив, диференциальному выражению
L [и] = и" — и
принадлежит гринова функция
1 -І*-Є| Te
а построенное с помощью этого ядра особенное интегральное уравнение
со
X г -ei — со
имеет непрерывный спектр, СОСТОЯЩИЙ ИЗ всех значений X=I-J-S2S=I
COS SX sin SX
с фундаментальными функциями —т=-, —т=- (ср. § 12). Билинейное
V тт Vn
соотношение заменяется здесь интегральной формулой: со со
cosSXcos-J— sinsxsin, 1 Г coss(x-?) , 1 — I*—
