Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
= [ К" (X, S) <р (S) dZ + [К' (X + О, X) - К' (X - О, X)] <р (*)
х„
J^'(XtZ),(Z)dZ-^;
Xa
следовательно,
Pи" Jf. piu> -QU-fSj (pK"+/TC' - qK) <f> (S) dZ-y (X),
X0
что в силу тождества L [К] = О и дает требуемое доказательство.
Для доказательства обратного утверждения воспользуемся снова формулой Грина (2") из § 1, подставим в нее » = 1 и применим ^e к обоим промежуткам интеграции х0 х S и S лг<: Jf1. Из формулы разрыва (95) и краевых условий получится тогда непосредственно формула (96) с перестановкой букв х и S.
Точно таким же путем получим общее, если к не подчинено, как К, заданным однородным краевым условиям — скажем, и (х0) = и (X1) = 0 — выражение для и:
Xi
и (х) = J К (лг, S) <р (S) dZ -f рК'и
X0
X1
>
*0
в котором при <р = 0 содержится выражение решения краевой задачи для однородного диференциального уравнения L [ы] = О через краевые значения.
Функция Грина самосопряженного диференциального выражения симметрична относительно параметра и аргумента, т. е. имеет место тождество
K(*J) = K(S, X).
Доказательство вытекает почти непосредственно из формулы Грина [§ M2")]. если в ней положить f = K(«,7j), K = K(x,Z) и взять область интегрирования, составленную из трех раздельных отрезков Xq лг S, SsgA =^7), T1 sg: X ?^ X1; принимая во внимание условие раз- 334
Проблемы колебаний
Гл. V
рьгаа (95) в точках х = ? и х=ц и краевые условия, получим доказываемое утверждение. Симметричность функции Грина во многих случаях выражает в отчетливой форме часто встречающийся в физике принцип взаимности: если сила, равная единице, приложенная в точке S, производит действие К (х, S) в точке х, то сила, равная единице, приложенная в точке х, вызовет в S то же самое действие.
2. Построение функции Грина и обобщеннаяфункция Грина. Для построения функции Грина для L [к] при заданных краевых условиях поступаем следующим образом. Рассмотрим решение K0 (лт) диференциального уравнения L[u] = 0, удовлетворяющее при х=х0 заданному краевому условию, скажем, исчезающее при х = х0; в таком случае с0и0 (х) есть самое общее такое решение. Точно так же пусть C1K1 (*) — семейство решений диференциального уравнения L [и] = О, удовлетворяющих краевому условию при X = X1. Тогда возможны два случая. Либо оба семейства отличны друг от друга, — что следует считать общим случаем —, лйбо они совпадают. В первом случае функцій к0, K1 линейно независимы, т. е. на основании известной теоремы K0K1' — K0K1 ф 0 и «и в какой точке основной области кривая первого семейства не может касаться кривой второго семейства (так как в точке касания получилось бы противоречие с последним равенством). Возможно, стало быть, так выбрать обе постоянные- с0, сЛ, чтобы точка пересечения принадлежала заданной абсциссе at = S в интервале G и чтобы скачок производной в этой точке имел в точности значение —. Таким путем мы получим функцию Грина выраженной в явном виде следующими формулами:
ats^S: K=S--K1(S)K0(Ar)
J с=р (S) [K0 (S) к; (S) - и'0 (S) K1 (S)] = const.
x^S: к = — — K0(S)K1(Ar)
Во втором случае k0 и k1 отличаются лишь постоянным множителем; всякое решение первого семейства принадлежит в то же время и второму. Стало быть, функция K0 (х) удовлетворяет в этом случае не только краевому условию в начальной точке, но и краевому. условНю на конце, и диференциальное уравнение» L [к1 = 0 имеет не исчезающее тождественно решение K0(At), удовлетворяющее краевым условиям. Это можно выразить еще и таким образом: X=O есть собственное значение диференциального уравнения L [к] -J-Xk = O. Таким образом изложенное рыше построение отказывается служить, функция Грина не существует.
Так как, согласно п. 1, построением функции Грина обеспечивается существование однозначного решения однородной краевой задачи для диференциального уравнения L[u]=—tp (л.), то наши рассуждения показывают, что имеет место следующая альтернатива: При за-
4) В самом деле, A = U0U1 — и'йиі~ ~~ > причем с постоянно, что нетрудно проверить. Достаточно для этого из заданного диференциального уравнения вывести для Д диференциальное уравнение рД' + Д/»' = 0. Функция Грина
335
данных однородных краевых условиях либо диференциальное уравнение L [и\ =—tp (х) имеет однозначно определенное решение и (х) для всякой заданной правой части <р (х), либо однородное уравнение L [и] = О имеет не исчезающее тождественно решение.
Далее докажем еще следующее: Во втором случае для разрешимости краевой задачи для диференциального уравнения L, к]=—ц{х) необходимо и достаточно, чтобы для решений U0 (х) однородного уравнения 1[и0]=О и правой части «р (х) выполнялось соотношение ортогональности:
X,
^ (р (х) и0 (х) dx = 0.
Xb
Что это условие необходимо, обнаруживается непосредственно, если помножить диференциальное уравнение L [к] <р(х) = 0 на U0 (х), интегрировать по области G и воспользоваться формулой Грина с. учетом краевых условий. Что это условие также и достаточно, можно показать, введя вместо обыкновенной обобщенную функцию Грина. К последней тоже приводит эвристическое рассуждение, вытекающее из физических соображений. Нагіомним (ср. стр. 279), что собственное значение X и соответствующая нормированная фундаментальная функция и имеют то значение, что наша струна под влиянием внешней силы вида —ф (*) сЛУ' становится неустойчивой (резонанс), если не выполняется равенство
