Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы выразить потенциал X полученного таким образом распределения масс, можно было бы, как в предыдущем пункте, воспользоваться суммированием бесконечного ряда. Удобнее, однако, прибегнув к помощи теории функций, построить соответствующую аналитическую функцию <f> (« -\-iy) = X-\-iY, действительной частью которой является X. Тогда функция
f(x -f- iy) = ?2* (X-WT) __ е2шр (x+ty)
должна иметь в точке ($, Jj) и в точках, происшедших из нее путем отражений, соответственно простые нули и полюсы. Соединим теперь по четыре смежных прямоугольника нашей решетки в прямоугольники Примеры функций Грина
363
новой решетки. Функция *f (x-{-iy) имеет в каждом прямоугольнике новой решетки два простых нуля и два простых полюса, которые распределены симметрично относительно начала координат и сравнимы по mod (2а, 2by.
нули: с (Е, jj), (—Е, — Tj), полюсы: с (—?, J]), (Е,—Jj),
соответственно.
Простейшей аналитической функцией этого рода является эллиптическая функция, имеющая в прямоугольнике периодов с вершинами (a, b), (—a, b), (а, — b), (— а, — b) указанные выше нули и полюсы и выражающаяся через соответствующую функцию о следующим образом:
G (Z E — ITjl) G (z -}- E /j])
° (2 — E -b щ) о (Z -f E — щ)'
где1)
ш
Подставив это выражение в f(z) и перемножив соответствующие множители, получим, полагая условно ею*=1 при M = O:
-І- .... ' = 0, ±1, ...).
Остается нам еще только проверить, выполняется ли краевое условие, т. е. имеет ли f(z) на контуре области R модуль 1.
При Z = х = 9? (z) множитель с W = O имеет модуль 1, а множителей с остальными значениями со можно так сгруппировать попарно, соответственно комплексно-сопряженным значениям (0, чтобы числитель одной пары был сопряжен знаменателю другой. При z=x+ib мы вычисляем наше двойное произведение, изменяя сначала I, а затем k.
^T1I
В произведении, взятом по индексу /, показательный множитель еш"
можно опустить, так как сумма \\—o по ^ ПРИ заданном k сходится
сіИ
абсолютно и имеет действительное значение. Остальные сомножители группируем попарно, соединяя множитель, соответствующий значению м = ka-\- Ibi, с множителем, соответствующим значению (a±=ka — — (I—1 )bi. Нетрудно видеть, что произведение такой пары имеет модуль
Если же Z = іу, то сначала изменяем I и при |А|>0 группируем по два такие частные произведения, -которые соответствуют значениям Ч; k. Мы можем опять не обращать внимания на показательный
множитель, ибо У — по I сходится абсолютно и имеет действительное
' W2
і) Штрих при знаке произведения П указывает здесь, что значение ю = 0
следует опустить. 364
Проблемы колебаний
Гл. V
значение. Остальные множители соединяем опять в пары таким образом, чтобы одному множителю соответствовало значение ы = ka-f Ibi, другому же о = — ka-f- lbi. Каждое такое парное произведение имеет модуль 1.
Наконец, рассматриваем случай z = a-\-iy, соединяя попарно множители, соответствующие значениям 4> = ka-\-lbi и w = — (k—1) а -(--4- Ibi, и перемножая затем по I. Таким образом для искомой функции Грина получается выражение:
К<*,jr; 5, ч) —-Lgt (log G(Z~5' ' a^ + !' «і ' "»Л
2ТГ V O(Z-C1W11W2)O(Z-I-CWi1W2)/ (z=x-\-iy, ? = ?-{-«], s=s — її], W1 = a, W2 = ib).
Построенная сейчас функция Грина может быть разложена по собственным функциям
2 . , п . тг _ sin k — xsinm — у у ab a b
всюду, за исключением окрестности источника, в абсолютно и равномерно сходящийся ряд, так как теория рядов Фурье утверждает разложимость функции, обладающей разрывом непрерывности только логарифмического типа. Это разложение гласит:
. ,т . т . , т Г. . TI оо оо sin k X sinm —_у sin k — S sin/я— ъ
* * ^SS —-г-н-- ¦
/B=Ift=I г,2+а2
Мы имеем здесь пример функции Грина, для которой справедлива билинейная формула, не доказанная для общего случая.
7. Функция Грина для кругового кольца. Берем обе ограничивающие окружности с центром в начале, произведение их радиусов полагаем равным единице (что может быть достигнуто надлежащим выбором единицы длины), и соответственно этому обозначаем радиус
внутренней окружности A1 через qh, радиус внешней окружности k2
через q~lIz , причем q—правильная дробь. Если теперь источник поместим в точке с, которую будем пока считать лежащей на действительной и положительной оси, а через z = x-\-iy обозначим переменную точку поля этого источника, • причем обе точки находятся внутри кругового кольца R, то наша задача сводится к следующей задаче теории функций: определить аналитическую функцию f(z), имеющую в точке с простой нуль, повсюду в R регулярную и на контуре кольца R имеющую модуль 1.
Из f(z) можно будет тогда получить значение функции Грина при Источнике с в точке поля г по формуле:
к (х,у, є, г])=—l9Uog/(z). Примеры функций ГриНа
Попытаемся искомую функцию f(z) продолжить за пределы обеих окружностей для того, чтобы найти таким образом достаточное число требуемых теорией функций данных для ее построения. Для этой цели отнесем каждой точке z в R точку Z1 внутри A1 при помощи равенства ZZ1 = д. Если z приближается к окружности Aj, то и Z1 приближается к этой окружности, и очевидно, что Z1 стремится к комплексно-сопряженной точке. Но f(z) вследствие симметричности наших допущений следует рассматривать как действительную функцию, т. е. такую, которая в действительных точках принимает действительные значения и, общее, в комплексно-сопряженных точках принимает комплексно-сопря-
