Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Дф — Ядр = 4я#р, (2)
где % представляет собой некоторую универсальную постоянную.
Если P0 есть постоянная плотность распределения массы, то
4 пК /0ч
Ф=--— р0 (3)
является решением уравнения (2). Это решение соответствует случаю равномерного пространственного распределения неподвижных звезд, причем плотность P0 может равняться действительной средней плотности вещества в мировом пространстве. Это решение соответствует бесконечно протяженному пространству, в среднем равномерно заполненному веществом.
Если теперь предположить, что имеются местные неравномерности в распределении материи, не изменяющие среднего значения плотности распределения, то к постоянному значению (3) потенциала ф придется добавить дополнительную величину ф, которая вблизи более плотных масс будет тем более похожа на поле Ньютона, чем меньше Axp по сравнению с 4яЛГр.
Такой мир не имел бы центра по отношению к гравитационному полю, и не было бы надобности допускать, что плотность уменьшается на бесконечности; наоборот, и средний потенциал, и средняя плотность были бы постоянны вплоть до бесконечности. При этом отмеченный конфликт между теорией Ньютона и статистической механикой здесь отсутствует. При постоянной (крайне малой) плотности материя находится в равновесии, не требуя внутренних сил (давления) для поддержания этого равновесия. 290 А. Эйнштейн
§ 2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ТРЕБУЕМЫЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В дальнейшем я предлагаю читателю последовать по пройденному мной самим извилистому и неровному пути, поскольку, как мне кажется, только так будет интересен конечный результат. Я пришел к убеждению, что уравнения гравитационного поля, которых я до сих пор придерживался, нуждаются еще в некоторой модификации, чтобы можно было на базе общей теории относительности избежать тех принципиальных трудностей, которые в предыдущем параграфе были указаны для теории Ньютона. Эта модификация полностью соответствует переходу от уравнения Пуассона (1) к уравнению (2) предыдущего параграфа. Тогда, наконец, получается, что граничные условия в пространственной бесконечности вообще отпадают, так как мировой континуум должен в отношении своих пространственных размеров рассматриваться как замкнутый континуум, имеющий конечный пространственный (трехмерный) объем.
Высказанное мной недавно мнение относительно граничных условий на пространственной бесконечности основано на следующих соображениях. В последовательной теории относительности нельзя определять инерцию по отношению к «пространству», но можно определять инерцию масс относительно друг друга. Поэтому, если я удаляю какую-нибудь массу на достаточно большое расстояние от всех других масс Вселенной, то инерция этой массы должна стремиться к нулю. Попытаемся сформулировать это условие математически.
Согласно общей теории относительности, импульс (с обратным знаком) определяется первыми тремя компонентами, а энергия — последней компонентой умноженного на У—g ковариантного тензора
(4)
причем, как всегда,
ds2 = g^ V dxp dxv. (5)
В особенно наглядном случае, когда координатную систему можно выбрать так, чтобы гравитационное поле в каждой точке было пространственно изотропно, эта величина принимает более простой вид
ds2 = - A (dx\ + dx I + dxl) + Bdxl Если одновременно
у—Tg^ і ^yA^ ВОПРОСЫ КОСМОЛОГИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 291
то в случае малых скоростей из выражения (4) для компонент импульса в первом приближении имеем
А dx-, A dxo A dx*
т—— -Tj- , т—-=- -^l , т—=T^r1, у в dx* У В dxI У В
и для энергии (в случае покоя)
ту В.
TT - А
Из выражении для импульса следует, что т -J= играет роль
у в
инертной массы. Так как т — константа, связанная с точечной массой и не зависящая от положения этой массы, то при соблюдении условия, установленного для определителя, это выражение в пространственной бесконечности только тогда обращается в нуль, когда А стремится к нулю, а В — к бесконечности. Таким образом, подобное поведение коэффициентов ^iliv представляется нам как бы следствием относительности всякой инерции. Отсюда следует также и то, что потенциальная энергия т У В точки в бесконечности становится бесконечно большой. Таким образом, точечная масса никогда не может покинуть систему; более подробное исследование показывает, что то же самое справедливо и для лучей света. Вселенная при таком поведении потенциала гравитационного поля в бесконечности не подвергалась бы, следовательно, опасности стать пустой, на что указывалось при обсуждении ньютоновской теории.
Заметим, что упрощенные допущения о гравитационном потенциале, положенные в основу этих рассуждений, сделаны только ради большей наглядности. Для описания поведения ^v на бесконечности можно найти общую формулировку, которая выразит суть дела без каких-либо ограничивающих допущений.
Пользуясь дружеской помощью математика Громмера, я исследовал центрально-симметричное статическое гравитационное поле, которое выражается на бесконечности указанным образом. Из заданного потенциала гравитационного поля g^v на основе уравнений гравитационного поля был вычислен тензор Zf^v энергии вещества. Но при этом оказалось, что для звездной системы подобного рода граничные условия никак не могут быть приняты, как недавно вполне справедливо было отмечено также астрономом де Ситтером.
