Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
8. Darmois G., Les equations de la gravitation einsteinienne, Memorial des Sei. Math., Paris, 1927.
9. Levi-Civita T., The Absolute Differential Calculus, London and Glasgow, 1927.
10. Einstein A., Infeld L., Hoffmann B., The Gravitational Equations and the Problem of Motion, Ann. Math., 39 (№ 1), 65 (1938) (перевод: Эйнштейн A., Собрание научных трудов, т. II, «Наука», M., 1966, стр. 450). ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ ПО КОСМОЛОГИИ И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ АСТРОФИЗИКЕ А. ЭЙНШТЕЙН
ВОПРОСЫ космологии
И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ*
Известно, что дифференциальное уравнение Пуассона
Аф = 4яЯр (1)
в совокупности с уравнением движения материальной точки не может вполне заменить теорию дальнодействия Ньютона. Необходимо добавить условие, что потенциал ф в пространственной бесконечности стремится к определенному пределу. Аналогично обстоит дело и в теории тяготения, следующей из общего принципа относительности; здесь также к дифференциальным уравнениям должны быть добавлены граничные условия для пространственной бесконечности, если мы на самом деле рассматриваем мир бесконечно протяженным в пространстве.
При рассмотрении задач, связанных с планетной системой, мы выбрали эти граничные условия, допустив, что можно выбрать
* Kosmologiche Betrachtungen zur allgemeinen Relativitatstheorie, Sitzungsber. d. Berl. Akad., 1917, Hf. 1, S. 142 (здесь с незначительными исправлениями перепечатывается перевод из книги: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. I, «Наука», M., 1965, стр. 601—612). 288 А. Эйнштейн
такую координатную систему, в которой все потенциалы тяготения ^jav в пространственной бесконечности становятся постоянными. Но априори отнюдь не очевидно, что при рассмотрении более значительных частей Вселенной можно пользоваться теми же самыми граничными условиями. Ниже будут изложены соображения, которые мы получили до настоящего времени по этому принципиально важному вопросу.
§ 1. ТЕОРИЯ НЬЮТОНА
Как известно, граничное условие Ньютона в форме существования постоянного предела для ф в пространственной бесконечности ведет к представлению о том, что плотность материи в бесконечности обращается в нуль. В самом деле, представим себе, что во Вселенной можно найти место, вокруг которого гравитационное поле материи, рассматриваемое в целом, обладает сферической симметрией (центр). Тогда из уравнения Пуассона следует, что средняя плотность р с увеличением расстояния г от центра должна стремиться к нулю быстрее, чем 1 /га, для того чтобы ф в бесконечности стремилось к некоторому пределу *). В этом смысле мир по Ньютону конечен, хотя и может обладать бесконечно большой общей массой.
Отсюда прежде всего следует, что излучение, испускаемое небесными телами, частично покинет мир Ньютона по радиальному от центра направлению, с тем чтобы бесследно затеряться в бесконечности. Не может ли произойти то же с целым небесным телом? Едва ли можно не допускать этого, поскольку из предположения о существовании конечного предела для ф в пространственной бесконечности следует, что обладающее конечной кинетической энергией небесное тело может достичь пространственной бесконечности, преодолев ньютоновские силы притяжения. Согласно статистической механике, такие события должны происходить до тех пор, пока общая энергия звездной системы достаточно велика, чтобы — при передаче ее одному небесному телу — последнее могло совершить путешествие в бесконечность, откуда оно никогда не сможет вернуться.
Можно было бы попытаться обойти эту своеобразную трудность, допустив, что указанный граничный потенциал имеет в бесконечности очень большое значение. Это было бы приемлемо, если бы изменение потенциала тяготения не обусловливалось самим небесным телом. В действительности мы с неизбежностью приходим к заключению, что наличие значительных разностей потенциалов гравитационного поля противоречит фактам. Hanpo-
1J Здесь р — средняя плотность материи, определенная для области пространства, большой по сравнению с расстоянием между соседними неподвижными звездами, но малой по сравнению с размерами всей звездной системы. ВОПРОСЫ КОСМОЛОГИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 289
тив, разности потенциалов должны быть столь малого порядка, чтобы определяемые ими скорости звезд не превосходили фактически наблюдаемых скоростей.
Если больцмановский закон распределения молекул газа применить к звездам, рассматривая звездную систему как газ, находящийся в стационарном тепловом движении, то получается, что ньютоновская Вселенная вообще не могла бы существовать, так как конечной разности потенциалов между центром и бесконечностью соответствует конечное отношение плотностей. Следовательно, нулевая плотность на бесконечности влечет за собой нулевую плотность в центре.
Эти трудности, по-видимому, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках теории Ньютона. Возникает вопрос, нельзя ли преодолеть их путем модификации теории Ньютона. Для этого прежде всего укажем путь, который не следует принимать слишком серьезно, так как он служит только для того, чтобы лучше уяснить последующие рассуждения. Вместо уравнения Пуассона напишем
