Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
__L_®!2L_ -1__L e<* 6^ (Ю 41\
з I г —а |3 J 3 ут\ | г — а | ' К^-^Ч
Первый член здесь совпадает с найденным ранее частным решением (10.26). Второй член будет мал по сравнению с первым, если расстояние до массы та велико по сравнению с радиусом; строго говоря, его следовало бы отбросить, так как подобное пренебрежение уже сделано при вычислении Vikbi.
Подставив найденные выражения (10.25) и (10.41) в (10.16), мы получим полное выражение для Vik. Теперь наша задача состоит в определении функции Uik из уравнения Лапласа [к которому приводится уравнение (10.08) вне масс] и из условия, чтобы сумма Sik = Uik + Vik удовлетворяла условию гармоничности (10.05).
Для этого нужно прежде всего вычислить расходимость трехмерных тензоров (10.41) и (10.25). Мы имеем
V^jSFl= -ttsttAT <10'42»
Чтобы вычислить далее расходимость от V\kb\ нам нужно воспользоваться формулой
дЧпз _ (\г-а\ + \г-Ъ\-\а-Ь\) МП
dajdbj 2 I г — а\ | г — Ь\ \а — Ь\
и двумя другими формулами, получаемыми из (10.43) перестановкой букв (г, а, Ь). При помощи этих формул нетрудно проверить равенство
(•_«). (,0.44)
dxk 2 I а — Ь J3 \ I г — а\ | г — Ъ | / v '
Составив при помощи (10.42) и (10.44) расходимость от суммы (10.16), мы получим х)
dVik _ Vi У2татъ dj — hj__1__д_ ^ уеа (і() ,гч
dxk "Zj I г — а\ I а — Ъ |3 3 Oxi Zj \г-а\' К3-"-™)
а=?Ъ а
1J Оба члена в скобках в (10.44) дают при суммировании одно и то же; поэтому достаточно взять первый член и умножить результат на 2. 2 266 В. А. Фок
Для упрощения полученной формулы обозначим через Ф потенциальную энергию системы тел:
1 ^ утпатъ
йгфЪ
Тогда
ф=-тЕ|Кт. (10-46)
S T^1SErb (10-47)
ъ
и выражение (10.45) напишется в виде
dVih _ ^ У дФ__1 д уеа Н0 4Ж
дхъ ~"Zj i г — a i даь 3 Zj [ г — a i • ^au' }
а а
Заметим, что это же выражение можно было бы получить и не решая в явном виде уравнения для Vikl а исходя из уравнения Пуассона для левой части (10.48). Найденное выражение для dVik/dxk, сложенное с выражением
dUi ^ry ута •• д sr}
(10.49)
(10.50)
dt ^J I г — а I 1 dxh ^J J г — a J а а
должно давать, согласно (10.05) и (10.07), величину
dUik = dUj dVih dxk dt dxk *
Но вне масс величины Uявляются гармоническими функциями, и их разложения начинаются с членов, соответствующих простым полюсам. Поэтому левая часть (10.50) не может иметь простых полюсов, а может иметь только особенности дипольного (и, быть может, мультипольного) характера. Действительно, положив
S-I^ff-+т ^ 2 TAT« (10-51)
а а
мы приведем к совпадению дипольные члены в обеих частях равенства (10.50), но справа останутся члены
STFirrK'+^)-0' (10-52)
а
которые, однако, тоже должны обратиться в нуль. Это возможно только, если числитель в каждом члене в отдельности равен нулю. Отсюда
^adi = — ^ . (10.53) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 267
Но эти уравнения представляют собой ньютоновы уравнения движения для системы масс. Таким образом, ньютоновы уравнения движения получены нами как условие разрешимости уравнений Эйнштейна во втором приближении. При этом мы совершенно не пользовались так называемым принципом геодезической линии. Тем самым мы вновь получили результат Эйнштейна [1, 2], согласно которому этот принцип уже содержится в уравнениях тяготения.
Разумеется, закон движения получился у нас в форме Ньютона только потому, что мы ограничивались в наших вычислениях вторым приближением. Учет дальнейших приближений дал бы к закону Ньютона соответствующие поправки.
11. ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ СМЕШАННЫХ КОМПОНЕНТ
Пользуясь выражением (8.18) для смешанных компонент тензора Эйнштейна, мы можем написать уравнения второго приближения для величин зоі в виде
1 д.ог__1 ау* 6 dU dU
2с 9 2сз dt2 "Г" с* dt dxt
Мы положим
д01 = Ui+^ Si (11.02)
и подчиним величины Ui и Si уравнениям
Af7'—^TF- = 4nWP', (11.03)
AS,-^=-3^ + 4(-^-?^. ("-о*»
Согласно (6.07 ) и (8.10), правая часть уравнения (11.03) будет в первом приближении совпадать с правой частью (7.09), Поэтому мы вправе обозначить одной и той же буквой Ui как решение уравнения (11.03), так и ту функцию, которая входит в правую часть (11.04) и приближенно выражается формулой (7.12).
В уравнении (11.04) можно пренебречь членом со второй производной от Si по времени. Таким образом, если мы положим
п о du du і dUi Wj V ди
то уравнение для Si будет иметь вид
ASi = Q1.
(11.06) 2 68 В. А. Фок
Кроме уравнений (11.03) и (11.06), функции Ui и Si должны удовлетворять условию гармоничности, вытекающему из (8.20). Из выражений (9.08) и (11.02) для а00 и ^oi следует, что это условие имеет вид
Составим сумму производных от обеих частей (11.06) по Xi:
dSi ^ - dQi (11.08)
дхі
В выражении (11.05) для Qi можно под U та. Ui разуметь их значения из первого приближения. Эти величины будут вне масс удовлетворять уравнению Лапласа и условию (7.13). Имея это в виду, получаем
-Sr=-T -Г (Srad ^2- (11-09)
С другой стороны, если AU = 0, то
А (С/2) = 2 (grad С/)2, (11.10)
