Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если она должна быть конечной, то величина gn должна обращаться в нуль при X1 = оо; и, наоборот, если компонента g1± обращается при X1 = оо в нуль достаточно высокого порядка, то величина L1 конечна. Очевидно, что условие равенства нулю компонент ^v на бесконечности эквивалентно конечности мира в естественных единицах измерения.
Но оказалось, что компоненты g^v этого конечного мира не удовлетворяют уравнениям (2). Поэтому Эйнштейн вынужден был добавить в уравнения (2) новый член, после чего они приняли следующий вид:
OO
О
1
(3)
или
Gliv-^gllv (G-2X)= -хГ,
HV
(3')
1J Или эллиптичен, см. ниже пункт 2.О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 303
откуда мы легко находим, что
G — AX = кТ.
(4)
Если положить
то мы получим
G' = G- АХ,
Поэтому уравнения (3) и (3') получатся, если в уравнениях (2) или (2') заменить величины Gliv и G величинами Gfliv и G'. Следовательно, уравнения (3) можно получить из обобщенного принципа Гамильтона *), если положить
Таким образом, и после введения X остаются справедливыми все законы сохранения, которые следуют из принципа Гамильтона.
Кривизна четырехмерного пространства-времени пропорциональна G. В новой теории имеем G = %Т + АХ; поэтому, дажо если бы массы не было (Т = 0), эта кривизна была бы отлична от нуля.
Как уже упоминалось, согласно эйнштейновскому решению уравнений (3), существует «мировая масса», заполняющая всю Вселенную. Но этим уравнениям можно удовлетворить и без такой гипотетической мировой массы. Тогда, конечно, не выполняется «материальный постулат об относительности инерции», но выполняется «математический постулат», в котором нет упоминаний о массе, а содержится лишь требование об обращении в нуль компонент g^v на бесконечности. Это требование выполняется благодаря введению Я-члена, а не действию массы мира, которая с такой точки зрения не играет никакой роли.
Если пренебречь давлениями и другими внутренними силами и предположить, что все массы покоятся, то тензор Tiiv примет вид
где р — плотность, выраженная в естественных единицах^изме-рения. Можно положить
где P0 — средняя плотность мировой массы. Если величина р№ положительна, то величина P1 может быть и положительной, и отрицательной, но в последнем случае она не должна численна превышать р0.
#3 = ] V-g{G-AX)d%.
Tu = SuPi все остальные Tixv = 0,
(5)
P = Po + PlI
(6)
1J См; статью I [1, стр. 707].304 В. де Cummep
Если мы хотим пренебречь гравитацией, то нужно отбросить рг ш положить плотность P0 постоянной. Тогда уравнения (3) примут вид г)
Giy-U + 4-xPo)
/ 1 \ (7) ^44—(А' + ІГИРо) ?44= —Kpogu*
Им удовлетворяют компоненты g^v» задаваемые следующим линейным элементом:
ds2= — dr2 — i?2sin2-^[dil)2 + sm2i|)d02]+c2^2, (8А)
если
XPo = 2?,, Я =S-^r. (9А)
Таково новое выражение Эйнштейна.
Этим уравнениям удовлетворяет также выражение
ds2 = — dr2 — Л2 sin2 -g- [di|)2 + sin2 If do2] + COS2 C2 d?2, (8Б)
*єсли
Po = O, Я = -^; (9Б)
:л, конечно, выражение
= -dr* - H [di|)a + sin2 ф d02] + с* dff, (8B)
если
P0 = о, X = 0. (9В)
Последнее решение (В) дает значения компонент ^ma,, соответствующие прежнему варианту теории относительности, т. е. ньютоновской теории инерции. Трехмерное пространство здесь евклидово, а в случаях А и Б оно обладает постоянной положительной кривизной. В случае А у нас имеется мировая масса; в случаях Б и В у нас р0 = 0: гипотетическая мировая масса отсутствует.
2. Если в формулах (8А) и (8Б) положить
г = Ях. (Ю)
то трехмерный (элемент длины примет вид
do* = RS{d%* + sin2 X [d-ф2 + sin2 ф de2]}. (И)
1J Ниже, в пункте 5, эти уравнения будут преобразованы дальше.О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 305
Это элемент длины трехмерного пространства с постоянной
положительной кривизной, которая равна
__ J_
8_ Я2 *
Возможны два типа пространств с постоянной положительной кривизной: сферическое пространство, или пространство Римана [6], и эллиптическое пространство, которое было исследовано Ньюкомом [7]. В сферическом пространстве все прямые линии, начинаясь в какой-либо точке, снова пересекаются в «антиподной» точке, которая находится от первой точки на расстояний яі?, измеренном вдоль одной из этих прямых. В эллиптическом пространстве любые две прямые линии не могут иметь более одной общей точки. В обоих типах пространств прямые линии замкнуты: их полная длина равна 2nR в сферическом пространстве и JtR в эллиптическом. Наибольшее расстояние между двумя точками в сферическом пространстве равно nR, и имеется лишь одна так называемая «антиподная точка», удаленная на такое расстояние от данной точки. В эллиптическом пространстве наибольшим возможным расстоянием будет V2Jti? и все точки, находящиеся на этом расстоянии от данной точки, лежат на прямой линии — «полярной линии» данной точки. Оба пространства конечны. Полный объем сферического пространства равен 2лД/?3, а эллиптического n^R3.
Эйнштейн говорит лишь о сферическом пространстве, которое из-за наличия двумерного аналога — сферы — легче воспринимается нашим воображением. Но в действительности более простой случай — эллиптическое пространство, и оно более предпочтительно в качестве пространства для нашего физического мира *). К тому же в сферическом пространстве возникли бы трудности, на которые будет указано ниже.