Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
k S T^r-W--ir <*»+
1 д
2 дхі
а
+T-srSi^r^w+x-srS-iSJr. <"-39>
а а
Согласно (11.14), мы должны иметь
(.1.14)
причем вне масс функции U и XJ% удовлетворяют уравнению Даламбера и в первом приближении равны (7.11) и (7.12). Всем этим условиям можно удовлетворить, положив
а
+ (11.40)
а
^=S +^г(«4+бгГ(а))} +
а
+ (11'41)
а а О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 273
Эти выражения определяются по существу однозначно. В самом деле, зная характер правых частей уравнений (9.10) и (11.03), которым величины U я Ui удовлетворяют внутри масс, можно заключить, что на больших расстояниях члены, убывающие быстрее, чем I г — а |-1, будут весьма малы. Поэтому весь произвол сводится к добавке выражений вида
^'-T-S тйгг' (11-42>
^-4-2-1?-. (11-43)
а
где ца — произвольные постоянные, имеющие размерность энергии. Но добавка к (11.40) и (11.41) выражений вида (11.42) и (11.43) равносильна в данном приближении замене в (11.40) и (11.41) каждой массы та на та + Замена же эта, очевидно, сводится к изменению обозначений, так как добавку r\ Jc2 можно считать уже включенной в та. G получением U и Ui заканчивается задача определения величин ^00 и вне масс, а именно: будет, как мы знаем,
+ ^ + (9-08)
где U имеет значение (11.40) и
90І = + ^l' (11'02)
причем Ui и Si равны соответственно (11.41) и (11.16).
После того как получены все можно уже чисто алгебраическим путем определить обыкновенные контравариантные и ковариантные компоненты фундаментального тензора. На этих вычислениях мы останавливаться не будем. Отметим только равенство
а
+ vm°Ir-aI' (11-44)
а
из которого следует, что корень четвертой степени из абсолютной величины определителя g удовлетворяет вне масс уравнению Даламбера.
18-0919 2 274 В. А. Фок
Если мы будем писать величину д00 вместо (9.08) в виде дроби
3--7??^. <«-«>
первые члены разложения которой совпадают с (9.08), то в случае одной массы мы получим строгое решение уравнений Эйнштейна, связанное простой подстановкой с решением Шварцшильда. В самом деле, для одной массы мы имеем
и, следовательно,
Лоо_
U==^f- (11.46)
. ('+?3
(11.47)
* ('-?)'
Далее, Ut = 0, Si = 0 и, следовательно,
goi = 0. (11.48)
Наконец, из (10.03), (10.07), (10.16), (10.41) и (10.51), полагая для почти точечной массы X = 0, получаем
(11.49)
Вычисление определителя g дает
X3^ = I +"Sb (11.50)
так что формула (11.44) оказывается точной. Отсюда по формуле
= — min ^v (11.51)
будем иметь
*» = <2ТТ7. (11-52)
= - (1+T)2 - тй-S- a^ (11 -53)
где буква а обозначает гравитационный радиус:
« = (11-54)
Кроме того, очевидно, будет
goi = 0. (11.55) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 275
Если мы введем сферические . координаты, то величина ds^ напишется в виде
ds2 = C2 dt2 -dr2 - (г + a)2 (dfl2 + sin2 OAp2). (11.56)
Чтобы получить отсюда формулу Шварцшильда, достаточно ввести вместо г новую переменную г a = R.
12. ТЕНЗОР МАТЕРИИ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ. ЗАКОН ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАССЫ И ЭНЕРГИИ
Выведенные в предыдущих параграфах формулы для величин Uik, Ui, Z7, удовлетворяющих, согласно (10.08), (11.03) и (9.10), уравнениям
AUik= -Anyc2Tih, (12.01)
AUi--^r= -4ny(e* + AU) Т°\ (12.02)
AU—-4пу(е* + ± и) ТО о, (12.03)
позволяют судить и о правых частях этих уравнений, т. е. о компонентах тензора материи T^xv. Для определения тензора материи во втором приближении мы имеем два условия: во-первых, равенство нулю его расходимости и, во-вторых, требование, чтобы на больших расстояниях от масс решения уравнений (12.01), (12.02) и (12.03) имели вид (10.51), (11.41) и (11.40). Если подставить в общее выражение
дТ
-VaTva+ Tl^ (12.04)
для расходимости симметричного тензора T7^v вытекающие и& (8.06) и (8.11) выражения для уа и Г^р, то мы получим
--STroe- (12-06>
Эти выражения уже были приведены нами в § 6.
Таким образом, первое из упомянутых условий означает, что правые части (12.05) и (12.06) должны равняться нулю.
Второе же условие фиксирует значение интеграла от правых частей (12.01), (12.02) и (12.03), взятого по объему каждой массы.
18* 2 276 В. А. Фок
В самом деле, если мы имеем уравнение
А/--(12.07) где а отлично от нуля только внутри масс, то решением его будет
/=S (12.08)
а а
где
Iia= J odxdydz. (12.09)
(а)
Применяя эту формулу к решению (10.51) уравнения (12.01), мы получим условие
J Wik dxdy dz=mawk + ^bikza. (12.10)
(a)
Далее, из того обстоятельства, что выражение (11.41) есть решение уравнения (12.02), следует
{ (с* + W) Т<* dx dy dz = TnJai {і + [vi + 6?/<*>]} +
(a)
(12.11)
Наконец, зная, что потенциал (11.40) удовлетворяет уравнению (12.03), заключаем
J (c2 + \u)Toodxdydz=ma{l+-^[vl^U^(a)]}. (12.12)
(a)
Чтобы составить тензор T7^v, удовлетворяющий всем этим условиям, введем вспомогательную функцию (г), определяемую равенством
OO
% W=-3 Jpa(r)4g-dr, (12.13)
г
где ра и иа — плотность и потенциал массы та. Как видно из определения, функция г|)а, подобно плотности ра, отлична от нуля только внутри массы ^a, но в отличие от ра эта функция непрерывна. Так как потенциал иа связан с плотностью ра уравнением Пуассона
