Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 93

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 205 >> Следующая


откуда, дифференцируя по времени и умножая на 7/4, будем иметь

(11-11)

Складывая это равенство с (11.08) и используя (11.09), получаем

MIt-+-^ jIlH- (11-12)

Таким образом, входящее в (11.07) выражение

есть функция, гармоническая вне масс.

Наша задача распадается теперь на три этапа: во-первых, нужно решить уравнения (11.06) для Si; во-вторых, нужно при помощи найденных Si составить по формуле (11.13) гармоническую функцию ф. Наконец, нужно определить (разумеется, в согласии с первым приближением) функции U и Ui из уравнений Даламбера и из условия

№ . dUi 1 ,AA А/\

і і ------- .ф# (11.14)

dt дхі

СЇ

Этим закончится определение коэффициентов (Jjav во втором приближении. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 269

Уравнения (11.06) для Si могут быть решены в явном виде. Представим правую часть их в виде квадратичной функции масс:

Qi = 2 y2mlQ\aa) + S y2mambQ\ab) (11.15)

а афЬ

И соответственно будем искать решение Si в виде

Si = S y2misfa) + S 4*mambSfb\ (11.16)

а афЬ

где отдельные члены удовлетворяют уравнениям

Д Siaay = Qiaa*, (11.17)

A S\ab) = QiabK (11.18)

Вне масс правые части этих уравнений имеют вид

?^ = -17^-(*-*) (?-?) TT^F' (11-19)

Sl(Ob) _(о' (x} — a))(xi~bi) ,' (Xj-Oj) (Xj — bj) ,

I г—a I3 I г—b I8 -4aJ I r—a |3 | г—b |8 +

+4«, ^jES-L. (И.20)

где значок sym означает, что данное выражение нужно симметри-зовать относительно букв а, Ь.

Уравнения (11.17) и (11.18) мы будем решать тем же способом, какой мы применяли в § 10 к уравнениям (10.17) и (10.18) для Vik.

При решении уравнения (11.18) мы пренебрежем тем, что первая часть его имеет вид (11.20) только в области вне масс. Мы будем, следовательно, искать такую функцию S{ab\ которая удовлетворяет во всем пространстве уравнению с правой частью (11.20), остается всюду конечной и обращается на бесконечности в нуль. Величину Q^ можно написать в виде

-j(ab) _ J Ч/1__:__/(п__:__l/<i__:_L X

: \oaJ daj dbi даг dbj + ^ai das dbj Jsym '

(|г-.||г-м)- (11-21)

X V I г—a 11 г—6 I

Отсюда на основании (10.24) заключаем, что искомое решение будет

^43?-4*^+4"'(И-22)

При условии L R это выражение будет вне масс мало отличаться от решения уравнения (11.18) с более точной правой частью. 2 270 В. А. Фок

В уравнении же (11.17) мы аналогичного пренебрежения сделать не можем и должны там заменить выражение (11.19) для правой части более точным выражением

где, как и в (10.29), иа есть потенциал, происходящий от массы та. Если мы перенесем начало координат в точку а и опустим значок а при и' (г), то получим

fmlQ\aa) = V2UiUf (г)2 -\-ajAvij, (11.24)

где AVij имеет значение (10.28). Мы можем, следовательно, воспользоваться готовыми результатами § 10 и написать решение в виде

S|aa) = ^r(<?>>7-21a,g), (11.25)

где q удовлетворяет уравнению (10.32) и имеет значение (10.34). Отсюда следует, что вне масс будет

Ыаа) __ (Xj-CLj) (Xh — , <4 __

0i ~ 4 I г — a I4 4 I г —a I2

К Г(xi — ai)(xk — ak) 1 "К 22 gq ai /AA 9сч

— —L I г — a I5 3 I г — a I3 Jaft 3 ут* \r-a \ « V^i.zo;

где величины Xa и &а имеют те же значения, что и в формуле (10.41).

Искомое решение Si уравнения (11.06) будет, таким образом, выражаться формулой (11.16), где S^ и SiaP имеют значения (11.22) и (11.26). При этом в (11.26) можно опустить член, пропорциональный Ka.

Зная Si, мы можем перейти ко второму этапу нашей задачи и составить гармоническую функцию ср, определяемую равенством (11.13). Мы будем иметь

oSjab) , 7 д 1 _22 га {zi-atUt ,,,

дхі 4 <9? I г — a I2 3 yml | г — а |3 »

д8{аЪ)

7 д 1

дхі 1 4 dt J г — о. 11 г— Ъ

7 aj(xj — aj) , 1 « aj—bj

_ / 7 V(xJ-aJ) , 1 : aJ-bJ Г_1___і 1\ (іі ооч

" \Т ] г—a I3 I a — 6 J 2 0J' I a — 6 |3 L |r-a| |r —J/sym' О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 271

Умножая (11.27) на y%ml и (11.28) на у*татъ и суммируя, получаем равенство, которое после чисто алгебраических преобразований может быть написано в виде

oSi , 7 д /тто\

-вГ + Т-ot^2)=-ф =

__1V! упа (•

~~ 2 Zj і г—a j \Ul дхі dt /а

а

, 7 aJ(xJ-aJ) Г7(а)/ \ I 22 aJ(xJ-aJ) /лл ОПл

+ i^fa |г^а1з u (а)+ т 2 vе* і г — a i3 • 1 -29)

а а

В этой формуле значок а при скобке означает, что выражение в скобках нужно брать при х% = at. Величина U{a)(г) определяется посредством равенства

U = ua + U(a\ (11.30)

где иаимеет прежнее значение потенциала массы ma, так что Ua есть потенциал всех остальных масс, кроме массы та. Вне масс мы имеем

^wW-S'ттЗт {Ъфа)• (1L31)

ъ

Из сравнения этого выражения с (10.46) следует, что

(ц-32)

ZdUlayX дФ ... 0

Преобразуем коэффициент в первом члене правой части (11.29). Мы имеем

d J7W, ч / • диіа) , ди{а} \ /4А 0/ч

Поэтому

/ • диш du(a) \ о' / dU<a} \ d ТТт>, ч /АА ос;ч

Но, в силу уравнений движения (10.53), которые могут быть написаны в виде

(О.. "<-•*> 2 272 В. А. Фок

предыдущее выражение равно

(i-^-^.-rM-^W). <»-37>

где мы положили

vl = a\ + al+al (11.38)

так что Va есть скорость массы та. Пользуясь равенством (11.37), мы можем написать выражение для функции <р в виде
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed