Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
откуда, дифференцируя по времени и умножая на 7/4, будем иметь
(11-11)
Складывая это равенство с (11.08) и используя (11.09), получаем
MIt-+-^ jIlH- (11-12)
Таким образом, входящее в (11.07) выражение
есть функция, гармоническая вне масс.
Наша задача распадается теперь на три этапа: во-первых, нужно решить уравнения (11.06) для Si; во-вторых, нужно при помощи найденных Si составить по формуле (11.13) гармоническую функцию ф. Наконец, нужно определить (разумеется, в согласии с первым приближением) функции U и Ui из уравнений Даламбера и из условия
№ . dUi 1 ,AA А/\
і і ------- .ф# (11.14)
dt дхі
СЇ
Этим закончится определение коэффициентов (Jjav во втором приближении.О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 269
Уравнения (11.06) для Si могут быть решены в явном виде. Представим правую часть их в виде квадратичной функции масс:
Qi = 2 y2mlQ\aa) + S y2mambQ\ab) (11.15)
а афЬ
И соответственно будем искать решение Si в виде
Si = S y2misfa) + S 4*mambSfb\ (11.16)
а афЬ
где отдельные члены удовлетворяют уравнениям
Д Siaay = Qiaa*, (11.17)
A S\ab) = QiabK (11.18)
Вне масс правые части этих уравнений имеют вид
?^ = -17^-(*-*) (?-?) TT^F' (11-19)
Sl(Ob) _(о' (x} — a))(xi~bi) ,' (Xj-Oj) (Xj — bj) ,
I г—a I3 I г—b I8 -4aJ I r—a |3 | г—b |8 +
+4«, ^jES-L. (И.20)
где значок sym означает, что данное выражение нужно симметри-зовать относительно букв а, Ь.
Уравнения (11.17) и (11.18) мы будем решать тем же способом, какой мы применяли в § 10 к уравнениям (10.17) и (10.18) для Vik.
При решении уравнения (11.18) мы пренебрежем тем, что первая часть его имеет вид (11.20) только в области вне масс. Мы будем, следовательно, искать такую функцию S{ab\ которая удовлетворяет во всем пространстве уравнению с правой частью (11.20), остается всюду конечной и обращается на бесконечности в нуль. Величину Q^ можно написать в виде
-j(ab) _ J Ч/1__:__/(п__:__l/<i__:_L X
: \oaJ daj dbi даг dbj + ^ai das dbj Jsym '
(|г-.||г-м)- (11-21)
X V I г—a 11 г—6 I
Отсюда на основании (10.24) заключаем, что искомое решение будет
^43?-4*^+4"'(И-22)
При условии L R это выражение будет вне масс мало отличаться от решения уравнения (11.18) с более точной правой частью.2 270 В. А. Фок
В уравнении же (11.17) мы аналогичного пренебрежения сделать не можем и должны там заменить выражение (11.19) для правой части более точным выражением
где, как и в (10.29), иа есть потенциал, происходящий от массы та. Если мы перенесем начало координат в точку а и опустим значок а при и' (г), то получим
fmlQ\aa) = V2UiUf (г)2 -\-ajAvij, (11.24)
где AVij имеет значение (10.28). Мы можем, следовательно, воспользоваться готовыми результатами § 10 и написать решение в виде
S|aa) = ^r(<?>>7-21a,g), (11.25)
где q удовлетворяет уравнению (10.32) и имеет значение (10.34). Отсюда следует, что вне масс будет
Ыаа) __ (Xj-CLj) (Xh — , <4 __
0i ~ 4 I г — a I4 4 I г —a I2
К Г(xi — ai)(xk — ak) 1 "К 22 gq ai /AA 9сч
— —L I г — a I5 3 I г — a I3 Jaft 3 ут* \r-a \ « V^i.zo;
где величины Xa и &а имеют те же значения, что и в формуле (10.41).
Искомое решение Si уравнения (11.06) будет, таким образом, выражаться формулой (11.16), где S^ и SiaP имеют значения (11.22) и (11.26). При этом в (11.26) можно опустить член, пропорциональный Ka.
Зная Si, мы можем перейти ко второму этапу нашей задачи и составить гармоническую функцию ср, определяемую равенством (11.13). Мы будем иметь
oSjab) , 7 д 1 _22 га {zi-atUt ,,,
дхі 4 <9? I г — a I2 3 yml | г — а |3 »
д8{аЪ)
7 д 1
дхі 1 4 dt J г — о. 11 г— Ъ
7 aj(xj — aj) , 1 « aj—bj
_ / 7 V(xJ-aJ) , 1 : aJ-bJ Г_1___і 1\ (іі ооч
" \Т ] г—a I3 I a — 6 J 2 0J' I a — 6 |3 L |r-a| |r —J/sym'О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 271
Умножая (11.27) на y%ml и (11.28) на у*татъ и суммируя, получаем равенство, которое после чисто алгебраических преобразований может быть написано в виде
oSi , 7 д /тто\
-вГ + Т-ot^2)=-ф =
__1V! упа (•
~~ 2 Zj і г—a j \Ul дхі dt /а
а
, 7 aJ(xJ-aJ) Г7(а)/ \ I 22 aJ(xJ-aJ) /лл ОПл
+ i^fa |г^а1з u (а)+ т 2 vе* і г — a i3 • 1 -29)
а а
В этой формуле значок а при скобке означает, что выражение в скобках нужно брать при х% = at. Величина U{a)(г) определяется посредством равенства
U = ua + U(a\ (11.30)
где иаимеет прежнее значение потенциала массы ma, так что Ua есть потенциал всех остальных масс, кроме массы та. Вне масс мы имеем
^wW-S'ттЗт {Ъфа)• (1L31)
ъ
Из сравнения этого выражения с (10.46) следует, что
(ц-32)
ZdUlayX дФ ... 0
Преобразуем коэффициент в первом члене правой части (11.29). Мы имеем
d J7W, ч / • диіа) , ди{а} \ /4А 0/ч
Поэтому
/ • диш du(a) \ о' / dU<a} \ d ТТт>, ч /АА ос;ч
Но, в силу уравнений движения (10.53), которые могут быть написаны в виде
(О.. "<-•*>2 272 В. А. Фок
предыдущее выражение равно
(i-^-^.-rM-^W). <»-37>
где мы положили
vl = a\ + al+al (11.38)
так что Va есть скорость массы та. Пользуясь равенством (11.37), мы можем написать выражение для функции <р в виде